高中數學解題中圓的性質的應用

李雪梅

(安徽省利辛縣第一中學,安徽 亳州 236707)

圓是一個最完美、最簡潔的幾何曲線,屬于圓錐曲線的一種.圓具有旋轉不變性,擁有無數條對稱軸,且都經過圓心,所有半徑的長度都一樣,弦、切線、圓心角等也各具特色,有著自身的特殊性質.在高中數學解題訓練中,部分試題雖然看起來同圓的關系不大,但是通過對題目信息的認真分析發現可以借助圓的豐富性質來解題,教師應指引學生根據具體題目準確、靈活地應用圓的性質,提高他們的解題能力.

1 應用圓的性質解決方程類問題

在高中數學解題教學中,與方程有關的習題難度比較大,處理此類試題時要綜合用到多方面的知識,教師可引導學生應用圓的相關性質,使其形成清晰、準確的解題思路,幫助他們順利求出題目結果[1].

分析本題可以根據方程的特征構造出熟悉且簡單的方程組,再逐層分解,轉變成兩個圖形的交點問題,涉及到圓的性質,即先由數到形,再由形到數,將復雜問題變得簡單化.

圖1 例題1曲線圖

2 運用圓的性質解決距離類問題

在處理高中數學求距離問題中,教師可以指導學生運用圓的性質輔助解決,通過圓的圖象能清晰、直觀地看到空間內兩個點之間的距離,以此降低題目的難度,把復雜問題簡單化,有效提高他們的解題速度[2].

例2 與點A(1,2)距離是1,與點B(3,1)距離是2的直線共有幾條?

分析本題雖然能夠使用代數法來解答,不過較為復雜,運用圓的性質可以將原題轉變成確定兩個圓的公共切線數量問題.

圖2 例2解析圖

3 采用圓的性質解決不等式問題

高中數學教師指導學生解答不等式問題時,除把握好不等式的性質以外,還要學會運用圓的相關性質進行分析,助推他們輕松突破障礙[3].

例3 已知實數x,y滿足x2+y2-4x+6y+11=0,且不等式x-y+m<0,那么實數m的取值范圍是什么?

分析處理這一問題時可以從幾何視角展開分析,x2+y2+Dx+Ey+F=0所對應的圖形就是圓,本題中的式子剛好符合這一特征,故能夠運用圓的性質來解題.

圖3 例3解析圖

4 使用圓的性質解決坐標類問題

在高中數學教學中,通常會有一些求坐標類的試題,這時教師可指引學生使用圓的性質進行解題,把圓的知識同坐標系的特征聯系到一起,使其精準找到解題的突破口,快速確定解題思路,增強解題自信[4].

例4如圖4所示,已知⊙O是以坐標原點為圓心、半徑為1的圓,∠AOB=45°,點P(x,0)在x軸上運動,過點P且與OB平行的直線和⊙O有公共點,那么x的取值范圍是什么?

圖4 例4解析圖

分析雖然這是一道坐標類試題,但是涉及到圓的相關知識,所以要使用圓的相關性質來解題.

5 利用圓的性質解決最值類問題

高中數學教師在最值類解題訓練中,可以引導學生利用圓的性質輔助求解,使其根據題目具體要求找到求最大值、最小值、最長或者最短的解決方法,幫助他們掌握高中數學中求最值問題的技巧[5].

分析學生通過讀題往往會感覺這一題目與圓沒有關系,其實遇到這類問題時教師需提醒他們樹立“見數思義”的思想意識,使其根據題干中的函數形式聯系到直線的斜率,再結合圓的性質進行解題.

圖5 例5解析圖

6 借助圓的性質解決向量類問題

對于高中數學解題教學中的向量類試題而言,大部分學生都是初次接觸,教師可以引領他們借助圓的性質進行解題,當然要以向量的計算法則為基礎,使其能綜合運用這些知識準確、輕松地求解[6].

圖6 例6解析圖

綜上所述,在高中數學解題活動中,圓的性質可謂是有著相當廣闊的應用空間,不僅可以用來解決幾何類問題,還有助于處理代數問題.教師應深刻意識到圓的性質的作用和優勢,且將這一思想觀念傳遞給學生,使其學會使用圓的性質解答方程、距離、不等式、坐標、最值與向量等問題,助推他們能夠創新與優化解題思路,從而提高整體解題質量.