一道河南省大聯考壓軸題的解法探究

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學,新疆 烏魯木齊 830002)

題目(2022年11月河南省大聯考第16題) 已知實數x,y滿足2x2-3y2-xy=1,則2x2+3y2的最小值為____.

解析因為2x2-3y2-xy=1,

所以(2x-3y)(x+y)=1.

令m=2x-3y,n=x+y,則

1 提出問題

這個題考查什么內容?有哪些通解通法?很多學生不明白.這個答案雖然沒有問題,但是對于學生來說有點“突然”:為什么要因式分解?怎樣分解出來的?初中已經把因式分解的十字相乘法刪除,要是已知改為“2x2-xy-3y2=1”,將x視為主元,也許對分解因式的解題思路還有一些提示.況且分解后,怎么能預測從基本不等式找到出口呢?因此,本題上手還是有些困難的.

2 解法探究

策略1橢圓+三角代換+輔助角.

分析1 目標式2x2+3y2與橢圓方程左端很“形”似,令其為一個新變量就能實現三角換元,把問題轉化為求三角函數的值域.

解法1 令2x2+3y2=t(t>0),

進一步由輔助角公式,得

策略2 雙曲線+三角代換+判別式.

分析2既然可以從目標式出發三角換元,同理可以從題設出發三角換元,只是曲線類型不同而已,運算大小不同罷了,這種思路也是很自然的[1].

解法2 由2x2-3y2-xy=1,得

①

將①代入2x2+3y2,得

則(5+5z)sin2α+2sinα+5-5z=0.

②

由方程②有根,得

Δ=4-4(5+5z)(5-5z)≥0.

策略3 極坐標 +輔助角.

分析3 無論已知的左端還是目標式都是關于x,y的齊次式,因此可以考慮用極坐標來代換,將陌生的背景等價轉化為我們熟知的模型.

解法3 由極坐標公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,結合已知2x2-3y2-xy=1,得

2(ρcosθ)2-3(ρsinθ)2-ρcosθ·ρsinθ=1.

那么2x2+3y2=2(ρcosθ)2+3(ρsinθ)2

=ρ2(2cos2θ+3sin2θ)

那么psin2θ-(5p+1)cos2θ=-p-5.

由輔助角公式,得

策略4 “韋達技巧”+復合函數.

解法4 由2x2-3y2-xy=1,得

2x2-3y2=xy+1.

令xy=n,m=25n2+2n+1,

策略5 整體代換+主元思想.

分析5 將目標式看成分母為1的分式,并視“1”為已知中的右端,進行整體換元,構造關于x(或y)的一元二次方程,利用判別式求解.

又因為2x2-3y2-xy=1,

整理,得2wx2-3wy2-wxy=2x2+3y2.

視x為主元,進一步整理,得

(2w-2)x2-wyx-3wy2-3y2=0.

③

由方程③有根,得

Δ=(wy)2+4(2w+2)(3wy2+3y2)≥0.

策略6 齊次化+判別式.

分析6 結合解法5,可以將目標式轉化為二元齊次雙變量分式函數,通過換元得到一元函數.

不失一般性,當x≠0時,

于是(3w+3)u2+wu+2-2w=0.

進一步得Δ=w2+4(3w+3)(2w-2)≥0,

策略7齊次化+對勾函數.

分析7 由解法6得到的一元函數,還可以整體處理后向對勾函數轉化,通過對勾函數求最值.

解法7 由解法6,得

不失一般性,當u≠4時,

當u>4時,w<0,不合題意,舍去.

當u=4時,w<0,不合題意,舍去.

當前正在深入推進新課程新高考改革,數學高考卷全力推進對數學核心素養的考查,對學生的創新能力要求較高,這是國家選拔高水平人才的需求.那么我們在教學中就要積極適應這種新格局,對于這種新題型,或稱拔高性試題,我們務必從思路、通解通法上下功夫,教會學生利用已有的知識,主動有效地與已知聯系起來,進而選擇恰當的方法,突破新背景下的新試題,以此展示自己較高的數學素養,而不是束手就擒,驚慌失措.另外,一題多解能打開學生的思路,培養創新品質,在日常教學中,我們要大膽放手,給學生機會,給其充足的思考時間,不可繼續使用滿堂灌的填鴨式教學方法,新高考模式必須有新的教學方式與之相匹配,否則,我們無法跟上高考改革的步伐.