設點法與設線法在解析幾何中的應用

李亞文

(深圳市橫崗高級中學,廣東 深圳 518000)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出:數學運算主要表現為理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,求得運算結果.通過高中數學課程的學習,學生能進一步發展數學運算能力,有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數學思維發展,形成規范化思考問題的品質,養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.解析幾何的研究對象是幾何圖形,以平面直角坐標系為研究工具,通過代數運算解決幾何問題.解析幾何作為高中數學中的重要內容,對運算能力有一定的要求,但是在日常的教學和學習中,往往熱衷于算,這背離了解析幾何的思想.所以在解析幾何的教學中,要善于用幾何的視角來分析問題,把握幾何圖形中的變量關系以及圖形特征.為此,本文從一些高三復習中的典型問題入手,幫助學生如何更好地使用設點法與設線法來處理實際的問題,提升數學運算能力,發展數學思維,提升核心素養能力.

1 試題呈現

(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程;

(2)過點A(-4,0)的直線l與橢圓C1交于M,N兩點,點M關于x軸的對稱點為E.當直線l繞點A旋轉時,直線EN是否經過一定點?請判斷并證明你的結論.

2 題目解析

2.1 第(1)問解析

解得p=4,c=1,a=2.

2.2 第(2)問解析

解法1 (設點法)設M(x1,y1),N(x2,y2),E(x1,-y1),

因為A,M,N三點共線,

即x1y2-x2y1=4(y1-y2).

=-(y1+y2).

所以x1y2+x2y1=m(y1+y2)+n(x1-x2).

由上式可得m=-1,n=0.

所以直線EN經過的定點坐標為(-1,0).

化簡,得(x1-x2)y+(y2-y1)x=x1y2-x2y1.

所以經過E,N的直線方程可表示為

(x1-x2)y+(y1+y2)x=x1y2+x2y1.

由設點法可知

(x1-x2)y+(y1+y2)x+(y1+y2)=0.

即(x1-x2)y+(y1+y2)(x+1)=0.

直線EN經過的定點坐標為(-1,0).

解法3(設線法)當直線l的斜率不為0時,設其方程為x=ty-4.

(3t2+4)y2-24ty+36=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2),E(x1,-y1),

經過E,N的直線方程可表示為

(x1-x2)y+(y1+y2)x=x1y2+x2y1.

化簡得(x1-x2)y+(y1+y2)x=(ty1-4)y2+(ty2-4)y1=2ty1y2-4(y1+y2).

代入上式,得

=-(y1+y2).

即(x1-x2)y+(y1+y2)(x+1)=0.

所以直線EN經過的定點坐標為(-1,0).

當直線l的斜率為0時,直線EN恒過定點(-1,0).

解法4 (設線法)當直線l的斜率不為0時,設其方程為x=ty-4.

(3t2+4)y2-24ty+36=0.

設M(x1,y1),N(x2,y2),E(x1,-y1),

所以x1y2+x2y1=m(y1+y2)+n(x1-x2).

化簡,得2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=n(x1-x2).

所以由上式得

由于x1,x2取值的任意性,當m=-1,n=0時,直線EN經過的定點為(-1,0).

所以當直線l的斜率為0時,直線EN恒過定點(-1,0).

評析解法1中的設點法從圖形中的共線問題入手,把題目中的條件進行坐標化表示,通過它的對偶式進行整體變形,從而解決問題.解法2中的設點設線法通過對直線的兩點式方程重新建構,得到直線方程的另外一種表達形式,結合設點法,對比得到定點.解法3和解法4中的設線法,采取反設直線的方式,雖然采取直線和曲線聯立,但是通過對題目中圖形的坐標化表示和建構,通過代數的推理和運算得到結論,從而降低運算量.

設點法是用幾個點的坐標作為變量,通過幾何圖形的坐標化來建立各個變量之間的關系,用代數變形的手段建立目標條件與已知條件的關系,從而解決問題.設線法通過聯立方程,用設而不求,整體代換來解決問題[1].

3 性質推廣

性質3過點P(t,0)作直線交拋物線y2=2px(p>0)于A,B兩點,點A關于x軸的對稱點A′與點B之間的直線恒過點Q(-t,0),反之也成立.

性質6 過拋物線y2=2px(p>0)對稱軸上任意一點P(t,0)作一條弦AB,這兩點與對應點Q(-t,0)的線段所成角被對稱軸平分.

4 性質應用

例2(2019年蘭州二模)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F且斜率為1的直線l與拋物線C交于A,B兩點,|AB|=4.

(1)求拋物線C的方程;

(2)若A關于x軸的對稱點為D,求證:直線BD恒過定點,并求出該點的坐標.

解析(1)因為直線l的斜率為1,所以直線l的傾斜角為α=45°.

由焦點弦的角度式,得

所以p=1.

即拋物線C的方程為y2=2x.

所以mn=-1.

設BD所在的直線方程為

即(m-n)y+(2x+1)=0.

在解析幾何的高考復習中,提升運算能力不僅僅是從代數角度入手,教師還要善于引導學生從幾何圖形中找到關鍵特征,對常見的圖形進行系統性的歸納,把握問題的本質,選擇合適的方法,這樣才能做到優化運算,提升能力[2].在日常教學中,以坐標法作為核心和紐帶,引導學生從數形結合的角度來看待問題,采取設點法和設線法等解決問題的簡便手法,也是培養學生直觀形象和數學運算的措施.