設(shè)點(diǎn)法與設(shè)線法在解析幾何中的應(yīng)用

李亞文

(深圳市橫崗高級中學(xué),廣東 深圳 518000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出:數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為理解運(yùn)算對象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路,求得運(yùn)算結(jié)果.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題;通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.解析幾何的研究對象是幾何圖形,以平面直角坐標(biāo)系為研究工具,通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.解析幾何作為高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,對運(yùn)算能力有一定的要求,但是在日常的教學(xué)和學(xué)習(xí)中,往往熱衷于算,這背離了解析幾何的思想.所以在解析幾何的教學(xué)中,要善于用幾何的視角來分析問題,把握幾何圖形中的變量關(guān)系以及圖形特征.為此,本文從一些高三復(fù)習(xí)中的典型問題入手,幫助學(xué)生如何更好地使用設(shè)點(diǎn)法與設(shè)線法來處理實(shí)際的問題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,發(fā)展數(shù)學(xué)思維,提升核心素養(yǎng)能力.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程;

(2)過點(diǎn)A(-4,0)的直線l與橢圓C1交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E.當(dāng)直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時,直線EN是否經(jīng)過一定點(diǎn)?請判斷并證明你的結(jié)論.

2 題目解析

2.1 第(1)問解析

解得p=4,c=1,a=2.

2.2 第(2)問解析

解法1 (設(shè)點(diǎn)法)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),E(x1,-y1),

因?yàn)锳,M,N三點(diǎn)共線,

即x1y2-x2y1=4(y1-y2).

=-(y1+y2).

所以x1y2+x2y1=m(y1+y2)+n(x1-x2).

由上式可得m=-1,n=0.

所以直線EN經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).

化簡,得(x1-x2)y+(y2-y1)x=x1y2-x2y1.

所以經(jīng)過E,N的直線方程可表示為

(x1-x2)y+(y1+y2)x=x1y2+x2y1.

由設(shè)點(diǎn)法可知

(x1-x2)y+(y1+y2)x+(y1+y2)=0.

即(x1-x2)y+(y1+y2)(x+1)=0.

直線EN經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).

解法3(設(shè)線法)當(dāng)直線l的斜率不為0時,設(shè)其方程為x=ty-4.

(3t2+4)y2-24ty+36=0.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),E(x1,-y1),

經(jīng)過E,N的直線方程可表示為

(x1-x2)y+(y1+y2)x=x1y2+x2y1.

化簡得(x1-x2)y+(y1+y2)x=(ty1-4)y2+(ty2-4)y1=2ty1y2-4(y1+y2).

代入上式,得

=-(y1+y2).

即(x1-x2)y+(y1+y2)(x+1)=0.

所以直線EN經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).

當(dāng)直線l的斜率為0時,直線EN恒過定點(diǎn)(-1,0).

解法4 (設(shè)線法)當(dāng)直線l的斜率不為0時,設(shè)其方程為x=ty-4.

(3t2+4)y2-24ty+36=0.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),E(x1,-y1),

所以x1y2+x2y1=m(y1+y2)+n(x1-x2).

化簡,得2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=n(x1-x2).

所以由上式得

由于x1,x2取值的任意性,當(dāng)m=-1,n=0時,直線EN經(jīng)過的定點(diǎn)為(-1,0).

所以當(dāng)直線l的斜率為0時,直線EN恒過定點(diǎn)(-1,0).

評析解法1中的設(shè)點(diǎn)法從圖形中的共線問題入手,把題目中的條件進(jìn)行坐標(biāo)化表示,通過它的對偶式進(jìn)行整體變形,從而解決問題.解法2中的設(shè)點(diǎn)設(shè)線法通過對直線的兩點(diǎn)式方程重新建構(gòu),得到直線方程的另外一種表達(dá)形式,結(jié)合設(shè)點(diǎn)法,對比得到定點(diǎn).解法3和解法4中的設(shè)線法,采取反設(shè)直線的方式,雖然采取直線和曲線聯(lián)立,但是通過對題目中圖形的坐標(biāo)化表示和建構(gòu),通過代數(shù)的推理和運(yùn)算得到結(jié)論,從而降低運(yùn)算量.

設(shè)點(diǎn)法是用幾個點(diǎn)的坐標(biāo)作為變量,通過幾何圖形的坐標(biāo)化來建立各個變量之間的關(guān)系,用代數(shù)變形的手段建立目標(biāo)條件與已知條件的關(guān)系,從而解決問題.設(shè)線法通過聯(lián)立方程,用設(shè)而不求,整體代換來解決問題[1].

3 性質(zhì)推廣

性質(zhì)3過點(diǎn)P(t,0)作直線交拋物線y2=2px(p>0)于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′與點(diǎn)B之間的直線恒過點(diǎn)Q(-t,0),反之也成立.

性質(zhì)6 過拋物線y2=2px(p>0)對稱軸上任意一點(diǎn)P(t,0)作一條弦AB,這兩點(diǎn)與對應(yīng)點(diǎn)Q(-t,0)的線段所成角被對稱軸平分.

4 性質(zhì)應(yīng)用

例2(2019年蘭州二模)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且斜率為1的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=4.

(1)求拋物線C的方程;

(2)若A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D,求證:直線BD恒過定點(diǎn),并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).

解析(1)因?yàn)橹本€l的斜率為1,所以直線l的傾斜角為α=45°.

由焦點(diǎn)弦的角度式,得

所以p=1.

即拋物線C的方程為y2=2x.

所以mn=-1.

設(shè)BD所在的直線方程為

即(m-n)y+(2x+1)=0.

在解析幾何的高考復(fù)習(xí)中,提升運(yùn)算能力不僅僅是從代數(shù)角度入手,教師還要善于引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中找到關(guān)鍵特征,對常見的圖形進(jìn)行系統(tǒng)性的歸納,把握問題的本質(zhì),選擇合適的方法,這樣才能做到優(yōu)化運(yùn)算,提升能力[2].在日常教學(xué)中,以坐標(biāo)法作為核心和紐帶,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度來看待問題,采取設(shè)點(diǎn)法和設(shè)線法等解決問題的簡便手法,也是培養(yǎng)學(xué)生直觀形象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的措施.