利用導數研究常見四類不等式問題

馬青蓮 馬宇超 魏俊潮

(揚州大學數學科學學院,江蘇 揚州 225002)

馬宇超,男,碩士研究生,從事數學教學研究;

魏俊潮,男,博士,教授,從事數學教學研究.

不等式問題是高考數學的常見問題,結合函數命題常需要構造函數,導數是研究函數性質的利器,可更好地幫助學生分析問題、解決問題.常見的題型有比較大小、解不等式恒成立、證明不等式成立、解不等式這四類.本文結合近幾年的高考題和各地模擬題,對這四類問題的解決方法進行探究.

1 利用導數比較大小

A.a

C.c

令f(x)=ln(1+x)-x(x>-1),

當x∈(-1,0)時,f′(x)>0;

當x∈(0,+∞)時,f′(x)<0,

所以函數f(x)在(-1,0)單調遞增,在(0,+∞)單調遞減.

即b>c.

(2)c=-ln0.9=-ln(1-0.1),

令h(x)=ex(x2-1)+1,則

h′(x)=ex(x2+2x-1).

所以g(0.1)>g(0)=0.

即0.1e0.1>-ln0.9.

所以a>c.

構造h(x)=(1-x)ex,h′(x)=-xex,

當x>0時,h′(x)<0,h(x)單調遞減,

所以h(0.1)

所以a

綜上可得c

評注對于這類無法直接比較大小的情況,首先需要觀察已知表達式的特點并進行整理[1],使表達式的數字部分相互建立聯系,其次將數字部分統一為自變量x,作差或作商構造關于x的函數,最后求導判斷函數的單調性和函數值情況進行求解.

2 利用導數解不等式恒成立問題

當x>0時,x2-2x+1≥0,

即x(x-2)≥-1.

所以φ(x)在(0,+∞)上單調遞增.

又φ(2)=0,故當0

當x>2時,h′(x)>0,h(x)單調遞增.

評注對于參數易于分離的不等式可使用分離參數法,將原不等式分離參數,轉化為不含參數的函數的最值問題,利用導數進行求解.部分題目判斷函數單調性時需要二次甚至三次求導,在求導函數時要注意導函數與原函數的對應關系,導函數的正負對應原函數的增減.

3 利用導數證明不等式

例3(2021年全國乙卷)設函數f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數y=xf(x)的極值點.

(1)求a;

解析(1)a=1;

當x∈(0,1)時,f(x)=ln(1-x)<0,所以xf(x)<0;

當x∈(-∞,0)時,f(x)=ln(1-x)>0,所以xf(x)<0.

只需證x+f(x)>xf(x),

只需證x+ln(1-x)>xln(1-x),

只需證x+(1-x)ln(1-x)>0即可.

令h(x)=x+(1-x)ln(1-x),則

h′(x)=-ln(1-x).

當x∈(0,1)時,h′(x)>0,h(x)單調遞增,

當x∈(-∞,0)時,h′(x)<0,h(x)單調遞減,

所以當x∈(-∞,0)∪(0,1)時,h(x)>h(0)=0,即x+(1-x)ln(1-x)>0在(-∞,0)∪(0,1)上恒成立,即證g(x)<1.

評注求導判斷單調性時,一定要注意原函數的定義域,僅判斷定義域內的函數單調性即可,避免部分導函數在定義域范圍外的正負不易判斷的情況,使簡單問題復雜化.

4 利用導數解不等式

g′(x)<0.

所以g(x)是偶函數.

故選B.

評注不同區間上導函數正負的判斷難度不同,若已知原函數的奇偶性和周期性,可巧用函數的奇偶性和周期性簡化判斷.此時可選擇易于判斷導函數正負的區間,再利用對稱區間上奇函數單調性相同、偶函數單調性相反,周期函數各個周期上的函數單調性相同進行判斷.

導數作為研究函數的強有力工具,可將函數單調性、極值和最值問題轉化為導函數的符號進行求解.本文針對比較大小、解不等式恒成立、證明不等式和解不等式這四類常見的不等式問題進行了研究,總結了利用導數研究這類問題的做題方法和注意事項,希望能對學生有所幫助.