非導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)不等式求解策略

武錦濤

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

非導(dǎo)數(shù)背景是指在不涉及導(dǎo)數(shù)知識(shí)下的問(wèn)題情境,在題目中不會(huì)出現(xiàn)明顯的導(dǎo)數(shù)知識(shí),在具體解題中無(wú)法使用或者可以使用但過(guò)程極其復(fù)雜的情形.在此背景下,函數(shù)不等式是函數(shù)基本性質(zhì)中比較常見(jiàn)的考查形式,考查學(xué)生的構(gòu)造能力,數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.在解這類問(wèn)題時(shí),有以下幾個(gè)難點(diǎn):第一,如何從題目條件中發(fā)現(xiàn)所要考查的知識(shí)點(diǎn),這種不等式形式有何實(shí)際意義?第二,如何將這些知識(shí)點(diǎn)與題目和已擁有的知識(shí)相聯(lián)系.

1 題目給出具體函數(shù)解析式

在高考試題和模擬試題中,一般給出的函數(shù)解析式不會(huì)復(fù)雜到超出認(rèn)知范圍,同時(shí)也不會(huì)特別簡(jiǎn)單,一般為幾個(gè)初等函數(shù)的和、差或者乘積形式或者復(fù)合形式的運(yùn)算.

分析這道題雖然給出了函數(shù)解析式,但這個(gè)函數(shù)解析式在進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算時(shí)不好判斷其性質(zhì),這就需要我們分開(kāi)來(lái)看部分函數(shù)的性質(zhì)

又f(x)是奇函數(shù),因此f(x)在R上為減函數(shù).

所以不等式f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0可化為f(2x2-10x)

可得3x2-16x-12>0.

兩式相加,得f(-x)+f(x)=4.

解法1(代數(shù)方法)由上述可得

f(-a)+f(a)=4.

由題目條件f(-a)+f(2a-3)>4,

所以f(-a)+f(2a-3)>f(-a)+f(a).

所以f(2a-3)>f(a).

所以a>3.

2 題目給出部分函數(shù)解析式

一些題目條件中給出一部分解析式,給出一些具體條件,但這些解析式通常不能直接用于解題,還需要對(duì)題目條件進(jìn)行分析,找出在全部定義域的解析式或圖象,必要時(shí)還需要運(yùn)用構(gòu)造的方法來(lái)建立函數(shù)模型.

因?yàn)閒(x)為R上的增函數(shù),

即ax2-2x+6≥0在x∈R恒成立.

所以f(x)為奇函數(shù).所以f(-x)=-f(x).

所以g(x)為偶函數(shù).

即g(x1)

因?yàn)間(x)為偶函數(shù),

所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒(3x)=3f(x),f(1)=1,

解得-3≤x<0或0

所以原不等式解集為[-3,0)∪(0,3].

3 題目未給出具體解析式

在一些題目中,有時(shí)完全沒(méi)有給出解析式,相對(duì)于前兩種題目來(lái)說(shuō)忽略一些定量的運(yùn)算轉(zhuǎn)而多了一些定性分析,具有高度抽象性,不易解決,往往是難題.

例5 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ax(a>1),若對(duì)任意的x∈[0,b+1],均有f(x+b)≥f2(x),則實(shí)數(shù)b的最大值為_(kāi)___.

分析這道題的條件只給出函數(shù)類型為指數(shù)函數(shù),沒(méi)有給出具體的值,驀然一看不知該從何下手,在不知道具體值的同時(shí)還有另一個(gè)未知量在“搗亂”,但只要通過(guò)分析函數(shù)的奇偶性,是能使條件從無(wú)到有,甚至還可以求出具體的值,這就是這道題的神奇之處.

解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ax(a>1),所以f(x)=a|x|(a>1),且當(dāng)x≥0時(shí)f(x)單調(diào)遞增.

所以f2(x)=(a|x|)2=a|2x|=f(2x).

即|x+b|≥|2x|.即3x2-2bx-b2≤0對(duì)于任意的x∈[0,b+1]恒成立[3].

即3(b+1)2-2b(b+1)-b2≤0,b+1>0.

例6 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)___.

分析這道題的已知條件非常簡(jiǎn)單,只給了一個(gè)抽象函數(shù)的式子,一個(gè)局部函數(shù)不等式,關(guān)鍵的突破點(diǎn)就在于這個(gè)抽象函數(shù)不等式到底怎么用,所對(duì)的那個(gè)條件應(yīng)該和前面的式子怎么結(jié)合起來(lái)成為解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵,一般這類抽象函數(shù)的問(wèn)題通常采用的方法就是賦值,通過(guò)賦值找到題目關(guān)聯(lián)條件然后得到答案.

解析令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0).

從而f(0)=0.

令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1).從而f(1)=0.

令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0.

令y=-1,可得f(-x)=f(x)+f(-1).

所以f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數(shù).

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且只有x=1一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),

所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.

所以f(x)在(-∞,0)也只有一個(gè)零點(diǎn)x=-1.

故f(x)有3個(gè)零點(diǎn).

函數(shù)不等式是高中數(shù)學(xué)知識(shí)里面較為重要的一部分,也是?？嫉慕?jīng)典題型,但近年的高考這類型題更加綜合、抽象,同時(shí)伴隨著較大的計(jì)算量,較復(fù)雜的分析過(guò)程,較為新穎的知識(shí)復(fù)合.因此在學(xué)生掌握這類解題技巧和思維方法的同時(shí),將知識(shí)點(diǎn)與解題技巧進(jìn)一步融合內(nèi)化,為以后的高考函數(shù)不等式的問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).