多面體外接球的一條重要性質的證明及其應用

李 勇

(息烽縣第一中學,貴州 貴陽 551100)

證明如圖1,若側面PAB⊥底面ABC,設△PAB的外接圓的圓心為O1,半徑為r1,底面多邊形的外接圓的圓心為O2,半徑為r2,球心為O,球的半徑為R,此側面與底面的公共棱長為2a.取AB的中點為O3,連接OO1,OO2,OO3,AO.

圖1 定理例題圖

因為O1為△PAB的外接圓的圓心,

所以O1A=O1B.

又O3為AB的中點,所以O1O3⊥AB.

同理O2O3⊥AB.

又側面PAB⊥底面ABC,

所以O1O3⊥底面ABC,O2O3⊥側面PAB.

由球的性質,得

OO1⊥側面PAB,OO2⊥底面ABC.

所以OO1∥O2O3,OO2∥O1O3.

所以四邊形OO1O3O2為平行四邊形.

由O1O3⊥底面ABC,O2O3?底面ABC,

所以O1O3⊥O2O3.

1 定理應用

例1已知A,B,C,D是球O的球面上四個不同的點,若AB=AC=DB=DC=BC=2,且平面DBC⊥平面ABC,則球O的表面積為( ).

解析設△DBC的外接圓的半徑為r1,△ABC的外接圓的半徑為r2,球O的半徑為R.

在△DBC中,由DB=DC=BC=2,

又2a=BC=2,得a=1.

所以球O的半徑

例2已知等腰Rt△ABC中,AB=AC=2,D,E分別是AB,AC的中點,沿DE將△ABC折成直二面角(如圖2),則四棱錐A-DECB的外接球的表面積為____.

圖2 例2題圖

解析設△ADE的外接圓半徑為r1,四邊形BCED的外接圓半徑為r2,四棱錐A-DECB的外接球的半徑為R.

易知在△ADE中,AD=AE=1,∠DAE=90°,

得DE2=AD2+AE2=1+1=2.

由余弦定理,得

CD2=DB2+BC2-2×DB×BC×cos∠DBC,

所以四棱錐A-DECB的外接球的表面積為4πR2=10π.

例3 三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=2,△ABC是邊長為1的等邊三角形,則其外接球的表面積為____.

解析如圖3,設△ABC的外接圓的半徑為r,三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R.

圖3 例3題圖

因為△ABC是邊長為1的等邊三角形,

所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑為

例4 在三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,且PC=AB=AC=1,∠BAC=120°,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為____.

解析如圖4,設△ABC的外接圓的半徑為r,三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R.

圖4 例4題圖

在△ABC中,由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2×AB×AC×cos∠BAC

所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑為

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為

解析如圖5,設△ABC的外接圓的半徑為r,直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半徑為R.

圖5 例5題圖

在△ABC中,由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2×AB×AC×cos∠BAC

故直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半徑為

所以三棱柱的外接球的表面積為

例6(2010年全國卷理10)設三棱柱的側棱垂直于底面,所有棱長都為a,頂點都在一個球面上,則該球的表面積為( ).

故選B.

例7(2017年課標Ⅱ文15)長方體的長、寬、高分別為3,2,1,其中頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為____.

所以球O的表面積為4πR2=14π.

A.12π B.24π C.36π D.144π

所以球的表面積為4πR2=4π×32=36π.

故選C.

2 鏈接練習

C.100π D.144π

A.16π B.28π C.24π D.32π

(8)已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則該長方體的外接球的半徑為____.

參考答案:

總之,“有一個側面垂直于底面的棱錐與它的外接球的關系問題”是眾多棱錐、棱柱的外接球問題中的一種類型.此類問題有了上述公式,就不用挖空心思地去找球的球心了,從而降低了試題的難度,使學生的解題速度得以大大提高.不過要提高解題速度,一定要記熟上述公式;還必需要熟練應用正余弦定理解三角形,用正弦定理解三角形外接圓的半徑.