一道遞推數(shù)列通項(xiàng)的多解探究

雷 譽(yù)

(湖北省咸寧市青龍山高級中學(xué),湖北 咸寧 437000)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,求數(shù)列通項(xiàng)公式問題在各種考試中經(jīng)常出現(xiàn).在大多數(shù)數(shù)列問題中,確定數(shù)列的通項(xiàng)公式是求解的關(guān)鍵,也是解決數(shù)列問題的基礎(chǔ).此類問題的出題方式靈活多變,解法也多種多樣.對于既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,我們需要根據(jù)遞推關(guān)系式的特點(diǎn),選擇合適的方法進(jìn)行求解.

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)的一種重要方法.通過數(shù)列的初始值和遞推公式依次計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng),要注意項(xiàng)的表示形式能夠反映其規(guī)律性,便于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式,主要考查學(xué)生的觀察、猜想和歸納的合情推理能力.

迭代法是解決有關(guān)數(shù)列問題的通用方法,尤其是已知相鄰項(xiàng)的遞推關(guān)系式時(shí)十分有效,利用數(shù)列的遞推關(guān)系式依次輾轉(zhuǎn)代入,發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與序號之間的變化規(guī)律,最終轉(zhuǎn)化為第n項(xiàng)和第一項(xiàng)的關(guān)系.構(gòu)造法就是根據(jù)題目的條件和結(jié)論,構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式來解決問題的一種方法.利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),需要將已知的遞推關(guān)系式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?整理成下一項(xiàng)與上一項(xiàng)的差和項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,形如an+1-an=f(n),然后等式兩側(cè)對應(yīng)累加,轉(zhuǎn)化為求f(n-1)+(n-2)+…+f(1)式子的和.

1 題目呈現(xiàn)

題目(2021年八省聯(lián)考)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.

(1)證明:數(shù)列{an+an+1}是等比數(shù)列;

2 題目解析

2.1 第(1)問解析

分析要證明數(shù)列{an+an+1}是等比數(shù)列,即證明an+an+1與它的下一項(xiàng)an+1+an+2之比為非零常數(shù),為得到an+1+an+2這一項(xiàng),需對已知遞推式兩邊同時(shí)加上an+1.

證明由an+2=2an+1+3an變形為

an+1+an+2=3(an+1+an).

所以{an+an+1}是公比為3的等比數(shù)列.

因?yàn)閍1+a2=2,所以an+an+1=2×3n-1.

2.2 第(2)問解析

解法3(迭代法)由an+an+1=2×3n-1,得

解法4 由an+an+1=2×3n-1,

①

得an-1+an=2×3n-2.

②

①-3×②,得an+1-3an=-(an-3an-1),

an-3an-1=(-1)(an-1-3an-2)=(-1)2·(an-2-3an-3)=…=(-1)n-2(a2-3a1).

又a2-3a1=0,所以an-3an-1=0.

點(diǎn)評解法3配湊系數(shù)的技巧性強(qiáng),從一般項(xiàng)無限迭代下去直到出現(xiàn)含首項(xiàng)的式子,驚奇地發(fā)現(xiàn)這個(gè)式子結(jié)果為零,所以一般項(xiàng)都為零,得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解法4由兩項(xiàng)的遞推式消去含項(xiàng)數(shù)的函數(shù)部分得到三項(xiàng)的遞推式,整理成平衡的結(jié)構(gòu)式,再無限迭代下去直到出現(xiàn)前兩項(xiàng)的式子,很巧的是式子結(jié)果也為零,所以得到{an}是一個(gè)等比數(shù)列,通項(xiàng)公式自然也就確定了.

解法5(構(gòu)造法)設(shè)an+2-λan+1=μ(an+1-λan),則an+2=(λ+μ)an+1-λμan.

又a1+a2=2,所以{an+an+1}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列.

故an+an+1=2×3n-1.

③

又a2-3a1=0,所以an+1-3an=0.

④

解法7由an+an+1=2×3n-1,可設(shè)

an=α·3n-1+β·(-1)n-1,

則an+1=α·3n+β·(-1)n.

所以an+an+1=α·3n-1+α·3n=4α·3n-1.

解法8(累加法)將an+an+1=2×3n-1兩邊同時(shí)乘以(-1)n+1,得

(-1)n+1an+(-1)n+1an+1=2×(-3)n-1.

則(-1)n+1an+1-(-1)nan=2×(-3)n-1.

則(-1)2a2-(-1)1a1=2×(-3)0,

(-1)3a3-(-1)2a2=2×(-3)1,…,

(-1)nan-(-1)n-1an-1=2×(-3)n-2.

累加得(-1)nan-(-1)a1=2×[(-3)0+(-3)1+…+(-3)n-2].

解法9由an+an+1=2×3n-1,得

an-1+an=2×3n-2.

作差,得an+1-an-1=4×3n-2.

則a3-a1=4×30,a5-a3=4×32,…,a2n+1-a2n-1=4×32n-2.

累加得a2n+1-a1=4×(30+32+…+32n-2).

a4-a2=4×31,a6-a4=4×33,…,a2n+2-a2n=4×32n-1,

累加得a2n+2-a2=4×(31+33+…+32n-1).

我們知道,若{an}是等比數(shù)列,則{an+an+1}也是等比數(shù)列,反之是不成立的.下面進(jìn)行分析和思考:若an+an+1=pqn-1(q≠±1),如何求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式呢?