一道導數模考壓軸題的探究

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學,廣東 佛山 528315)

由于問題(1)較為簡單,本文不作討論,下面從不同視角,對問題(2)進行解答與探究.

1 解法探究

視角1 放縮法.

由ex≥1+x(x=0時取等號),得

故g(x)在[-1,+∞)上單調遞增.

所以g(x)≥g(-1)≥0.

視角2 主元法.

證法3①當a=1時,由證法1,可得

將a看作主元,令

證法4①當a=1時,由證法1,可得

將a看作主元,令

將a看作主元,令

評注在處理不等式有關問題時,若題目中有多個變量,且以x為主元解答較困難時,可以嘗試改變分析問題的角度,重新確立主元,排除參數的干擾.這樣往往會有“山窮水盡疑無路,柳暗花明又一村”的豁然開朗之感,從而可化繁為簡,化難為易[2].

視角3 配方法.

證法6當00.

由ex≥1+x,可得

當且僅當x=0,a=1時,等號成立.

證法7當00.

由ex≥1+x,可得

評注證法6與證法7先利用常見函數不等式ex≥x+1進行放縮,并結合二次函數的配方法來證明,證法巧妙,簡便,極大簡化了證明過程.兩個證法本質上是一樣的,但證法7換元后更容易看出是二次函數的形式.

視角4 換元法.

證法8當0

當t>a時,g′(t)>0,故g(t)在(a,+∞)上單調遞增.

于是g(t)≥g(a)=-alna≥0.

評注本證法利用常見函數不等式ex≥x+1進行放縮,消去式子中的根式,然后換元構造新函數,通過求新函數的最值來證明,證法的運算量較少,過程也較為簡潔.

2 試題的思考與變式

試題分步設問,逐步推進,由淺入深,重點突出,較好地達到了考查目的,其思維過程較好地體現了函數與導數的核心內容和基本思想方法的考查.

數學的魅力在于“變化”,有“變”才能“活”,恰當的“變式”能避免學生在低層次重復,能使學生多角度、全方位地理解知識,思維能力得到拓寬和加強.所以數學教學不僅要解決問題,還要注重問題的變式拓展,引導學生積極探索一題多變、一題多用,達到舉一反三、觸類旁通的目的.

由原題及其證法,可得題目的變式:

3 鏈接高考

含參的函數不等式的證明問題,特別是以ex或lnx為背景的函數不等式證明,是高考中的重要考點,倍受命題者青睞,常作為壓軸題頻頻亮相.例如:

例1 (2018年高考全國Ⅰ卷文科第21題)已知函數f(x)=aex-lnx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點,求a,并求f(x)的單調區間;

(1)求曲線y=f(x)在(0,-1)處的切線方程;

(2)證明:當a≥1時,f(x)+e≥0.

學數學離不開解題,遇到一道經典試題,要從多角度、深層次探尋其解法,通法也好,巧法也罷,不單要比較其優劣,還要清楚其中的方法內涵,知曉其中的來龍去脈,方能實現試題研究價值的最大化.另外,不要只滿足于問題的解決,要通過變式、類比進行研究,尋求問題的增長點,從而達到做一題會一類,甚至會一片的目的,積累良好的數學思維和實踐經驗,最終在解題思路上產生質的變化,使思維得到發展.