一道求空間點到直線距離試題的七種解法

王恩普

(江蘇省淮陰中學教育集團淮安市新淮高級中學,江蘇 淮安 223001)

在“三新”背景下,教材顯然是一線教師和學生的主陣地,教材的研究顯得尤為重要,尤其是教材中的例題和習題,都是精編細選,深得很多命題者的青睞,因此有必要對一些典型的例習題進行深入探究.本文從不同的視角出發,對蘇教版選擇性必修第二冊中的一道例題的解法進行了充分研究,而且在解法探究的過程中,也很自然地體現了基礎性、綜合性和創新性.

1 試題呈現

題目如圖1,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別是BC和CD的中點.求點E到直線B1D1的距離.

圖1 題目示意圖

這是蘇教版選擇性必修第二冊6.3.4《空間距離的計算》例11的改編,考查空間幾何中的點到直線的距離,此題的背景是正方體,坐標表示較為簡單,但是從不同的視角出發,可以發現解法多樣,各具特點,因此文章對本題的解法進行了深入研究,與讀者共享.

2 解法探究

圖2 空間直角坐標系示意圖

令x=1,則y=-1,z=4.

解得n=(1,-1,4).

故點E到直線B1D1的距離為

故點E到直線B1D1的距離為

設平面EB1D1的一個法向量為

n1=(x1,y1,z1),

令x1=2,得z1=-1,y1=-2.

所以n1=(2,-2,-1).

n2=(x2,y2,z2),

令x2=1,得y2=-1,z2=4.

可得n2=(1,-1,4).

故點E到直線B1D1的距離即為

解法4 (求空間向量的模)如圖3,在平面EB1D1內過點E作直線B1D1的垂線,垂足為點H,由平面向量基本定理,知

圖3 解法4示意圖

又H,B1,D1三點共線,則有λ+μ=1.

由投影向量,知

評注解法5來源于人教版教材,借助于投影向量的概念,問題解決過程簡潔,易操作.

由余弦定理,知

評注解法6把空間的點到線的距離轉化為平面三角形中的高,只需要求出三角形的三邊長,借助于三角函數知識即可解決,從而體現了轉化與化歸思想.

解法7(兩點距離公式)如圖3,在平面EB1D1內過點E作直線B1D1的垂線,垂足為點H,由題可設H(x,x,1),則

故點E到直線B1D1的距離為

評注解法7的本質就是設出垂足的坐標,通過向量的數量積表示出垂直關系,從而求出垂足的坐標,然后利用空間兩點距離公式即可求解.

3 教學啟示

在新高考形勢下,對學生的考查應該是全方面的,所以對于問題的解決,不能僅限于得出結果,更重要的是要在解題中提升學生的能力,并能引導學生打破常規進行獨立思考和判斷,提出解決問題的方案,主動從不同的角度進行探究,融合所學知識,在數學學習過程中培養學生的思維品質,提高學生分析問題、解決問題的能力[1].