導函數零點不可求問題的破解策略

江蘇省金湖縣第二中學 (211600) 梁加林

我們在利用導數求函數的單調區間或者極值時,經常會遇到導函數方程f′(x)=0是一個超越方程或是一個含有參數的二次方程,使我們無法求出方程根或者無法清晰的表述方程根的情況,此時我們可能是束手無策,無法繼續下去了,其實問題并非是無從下手,而可能是我們知識儲備不夠豐富,方法研究不夠透徹,針對這個常見的解題現象,本文通過對典型例題的分析探求,介紹常用的五種處理手段,供讀者朋友參考.

一 賦值探求

如果導函數涉及的是關于lnx的復合函數時,一般可令x=et,特別的是令x=1或者x=e進行試探;如果導函數涉及的是關于ex的復合函數時,一般可令x=lnt,特別的是令x=0或者x=1進行試探求解.

點評：如果導函數方程是超越方程,不應該用常規解方程的方法求解,需要靈活地使用相關的特殊值驗算得出,這是一個重要的解題共識.

二 虛設零點

通過假設x0是方程f′(x)=0的根,然后將x0代入方程并設法消去參數,重新構造出關于零點的一個單一函數,這樣就能把題目轉化為常規的方程問題了.

例2 已知函數f(x)=lnx+x,g(x)=x·ex-1,求證:f(x)≤g(x).

點評：在解題過程中,要時刻記住假設的根的意義和用途,許多情況下,這個假設對后面解題會起到關鍵作用,如本題中得到了F(x0)=0.

三、多次求導

在通過第一次求導后無法確定導函數的零點,可以設一個新的相關函數并再一次或又一次的求導,這樣就使導數式變得越來越簡單,為成功解決零點問題化解了難點.

例3 已知函數f(x)=xlnx-ex+1.試證明:f(x)

析解：要證f(x)0,xlnx≤0,故xlnx-ex+11時,令g(x)=ex+sinx-1-xlnx,故g′(x)=ex+cosx-lnx-1.

點評：多次求導也是導數題中的重要解題技巧,尤其是在含有lnx和ex的函數式中會經常得到使用,而此法是以能夠解導函數方程為目的,必須得到正確運用.

四 拆分構造

在整體形式上很難判斷出f′(x)正負和求出零點時,可以采用分離構造函數g(x),使f′(x)=g(x)·h(x),其中h(x)恒正或恒負,這樣下一步只需對g(x)進行研究就可以了.

點評：運用此法的目的是使解題過程簡化、優化,所以必須先對導函數式進行有效的變形轉化,在能確定其中一部分函數式的符號后,再設一個新函數.

五 整合重組

如果在直接求導函數的零點難以達到的情況下,可以通過對導函數進行代數變形、整合重組,轉化為一個與原題意一致的并且新函數求零點容易解決的問題.

例5 已知函數f(x)=xlnx+mex有兩個極值點,求實數m的取值范圍.

點評：通過對導函數式的變形,創造了重組的條件,而重組的目的是方便解決下面的問題,如本題中的參數范圍,所以重組必須有一部分是比較簡單的,這是解題原則.

前面通過典型例題的分析,介紹了導函數零點不可求問題的五種求解策略,其核心就是圍繞如何確定相關的超越方程的解所施展的破題手段,而抓住問題特點,精準分析、重點突破是關鍵．只有在平時的教學過程中注重點解題方法的研究、解題規律的探索,就可使學生思維能力獲得較大提高.