探索二元不等式約束條件下函數(shù)最值的求解

山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué) (271400) 張志剛

二元方程條件下的最值問題歷來是高考、競賽、高校強(qiáng)基計(jì)劃測試等考查的熱點(diǎn),近三年高考就有2020年新高考全國I卷第11題、新高考全國II卷第12題、天津卷第14題、江蘇卷第12題,2022年新高考全國II卷第12題等,自然也吸引了眾多數(shù)學(xué)教育工作者對此深入探討,形成了日益成熟的解題理論(參見文[1][2]等).然而,此類試題的命題模式多年來鮮有變化,似有陷于僵化之嫌.如何改變問題呈現(xiàn)樣態(tài),減少考試固化給機(jī)械訓(xùn)練和大量刷題帶來的收益,同時(shí)強(qiáng)化其選拔功能呢?下面的兩道高校選拔試題將條件由方程變更為不等式,使傳統(tǒng)的二元函數(shù)最值問題煥發(fā)出新的生機(jī),代表了試題改革的一個(gè)新趨向,具有較高的研究價(jià)值.

1 案例呈現(xiàn)

兩例均考查不等式約束條件下二元函數(shù)的最值問題,情境相對新穎,思維跨度更大,呈現(xiàn)出更強(qiáng)的綜合性與選拔性.

2 案例解答

評注：通過換元轉(zhuǎn)化為二次方程有解,利用判別式Δ≥0構(gòu)造不等式,也是處理二元函數(shù)最值問題的常見思路.

評注：柯西不等式是探求函數(shù)(特別是多元函數(shù))最值的有力工具.解法4通過柯西不等式放縮一次性消除變元x,y,使代數(shù)式轉(zhuǎn)化為常數(shù)2(即所求最大值),體現(xiàn)了消元思想.在利用柯西不等式解題時(shí),往往借助拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊等技巧,以構(gòu)造出柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式.此外,要驗(yàn)證等號能否成立.

圖1

評注：本解法在解法5解析式變形基礎(chǔ)上繼續(xù)配湊為兩個(gè)向量的夾角公式形式,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量夾角的余弦函數(shù)最值問題.

3 強(qiáng)化訓(xùn)練

近年,不等式條件下的最值試題頻頻出現(xiàn)于高校強(qiáng)基計(jì)劃測試等選拔性考試中,代表了二元函數(shù)最值問題命題的一個(gè)新趨向,成為一道靚麗的風(fēng)景線.下面再舉幾例.

例1 (2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測試第1題)已知x2+y2≤1,則x2+xy-y2的取值范圍為( ).

4 結(jié)語

在教學(xué)和命題實(shí)踐中,通過情境設(shè)置考查學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng),是當(dāng)前中、高考改革以及國際考試測量的基本方向.高考命題一方面將進(jìn)一步創(chuàng)新試題的情境創(chuàng)設(shè)和呈現(xiàn)方式,另一方面將進(jìn)一步加大試題的開放性和探究性,實(shí)現(xiàn)對學(xué)生創(chuàng)新思維和批判性思維的考查.可見,高考評價(jià)體系引領(lǐng)下的命題情境將進(jìn)一步呈現(xiàn)復(fù)雜性、綜合性和創(chuàng)新型的特點(diǎn).二元不等式條件下的最值問題通過創(chuàng)新問題情境,區(qū)分度更高,能有效驅(qū)動(dòng)學(xué)生與情境之間持續(xù)而有意義的互動(dòng),促進(jìn)學(xué)生積極剖析條件,捕捉信息,抓住關(guān)鍵,形成設(shè)想,構(gòu)建方案,將所學(xué)知識遷移到新情境,解決新問題,與高考評價(jià)體系的要求相契合.