高觀點下探尋多邊形的內角和與外角和

廣東省深圳市南山外國語學校(集團)科華學校 (518000) 葉 瑩

三角形的內角和是一個重要的幾何量,在歐幾里得幾何學中,三角形的內角和為180度.在證明這一定理的時候,中學教科書[1]采用的方法是這樣的:首先過三角形的某一個頂點作與對邊平行的輔助線,再利用內錯角相等得到三角形的內角和為180度.而內錯角相等需要利用歐幾里得幾何的兩條公理:同位角相等和對頂角相等.由此可見,為了證明三角形的內角和為180度,需要兩條公理.中學課本證明完三角形的內角和為180度以后,再利用內角和外角互補的關系,得到外角和為360度.

在講完三角形的內角和與外角和以后,中學教材便開始講凸多邊形的內角和,課本中的講法通常是這樣的:從凸多邊形的某個頂點出發,可以作(n-3)條對角線,從而把多邊形分成了(n-2)個三角形,多邊形的內角和正好是這(n-2)個三角形的內角和,因而是(n-2)×180°.相應地,因為每個頂點對應的外角和內角互補,所有內角和與外角和的總和是n×180°,從而外角和是2×180°=360°,詳情可參考[1].一般的教材也就到此為止,即得到凸n邊性內角和公式為(n-2)×180°,外角和為360°.以上的證明過程無疑是正確的,然而筆者認為,許多很自然的問題還沒有解決:1.如果是非凸多邊形,它的內角和應該是多少,外角和應該是多少? 2.為什么多邊形的內角和與邊數有關,而外角和與邊數無關?3.證明多邊形的內角和公式和外角和公式,有沒有更加直觀和更加簡單的方法?筆者通過對這幾個問題的長期思考,結合現代微分幾何學的研究方法,認為多邊形的外角和是比多邊形的內角和更重要的幾何量.如果換一種方式來講解多邊形的內角和與內角和,則不但講解過程更加直觀,而且不需要任何公理,此外,該講解方法還適用于非凸多邊形,最后,該講解方法還可以很容易推廣到現代微分幾何學中的Gauss-Bonnet公式.下面筆者來詳細敘述這種直觀的講解方法.

我們來觀察一下三角形的制作過程.中學教科書中說,三條線段順次首尾相接就構成一個三角形,實際上,我們只需要把一條線段折三次就能得到一個三角形,仔細觀察折疊的過程,就能得到三角形的外角和為360度的結論.下面,我們來看看具體的折疊步驟:

首先,取一條線段(如圖1).

圖1

第一步:將AB段不動,BE段繞B點逆時針旋轉α角度(如圖2).

圖2

第二步:將AB段、BC段不動,CE段繞C點逆時針旋轉β角度,使得D、A、B三點在同一條直線上(如圖3).

圖3

第三步:將AB段、BC段、CD段都不動,DE段繞D點逆時針方向旋轉γ角度,使得DE與AB共線(如圖4).

圖4

通過上述三步,一個三角形就形成了.巧合的是α、β、γ剛好是ΔABC的外角,那么它們的和是多少度呢?觀察DE段,它在第一步逆時針旋轉了α,第二步逆時針旋轉了β,第三步逆時針旋轉了γ,最終繞了一圈,回到了原來的方向,既然是繞了一圈,也就是說旋轉了360°,即α+β+γ=360°,也即三角形的外角和是360°,得到了三角形的外角和為360°以后,因為每個頂點處的內角與外角互補,所以內角和與外角和的總和是3×180°,因而得到內角和是180°.上述過程的實施非常簡單,不需要教材中的輔助線等工具,并且這種方法可以推廣到多邊形,包括凸多邊形和非凸多邊形的情況.

先來看看凸n邊形的內角和與外角和,將一條線段分成(n+1)段,用同樣的方法,經過n步將線段繞不同的點旋轉一定角度,就可以得到一個凸多邊形(當然要求旋轉的角度和線段的分段要適當),因此凸n邊形的外角和360°,從而得到內角和是(n-2)×180°.

從上面的分析可以看出,無論是構造多少條邊的凸多邊形,其本質都是最后一段旋轉了一圈,而每一次旋轉的角度都是多邊形的一個外角,因此凸n邊形的外角和總是360°,這就是對多邊形外角和的直觀認識,這樣理解外角和還有以下兩個好處.

圖5

綜上所述,在給中學生講述多邊形的內角和與外角和時,除了按照教科書中的講法來講之外,還可以從曲線彎曲的角度來先講外角和,再根據外角與內角互補的關系,得到多邊形的內角和公式.這樣講有幾個好處.第一個好處是非常直觀.不管是幾邊形,它都是一條線段經過若干次彎曲以后,繞了一圈,重新回到原來的方向所得到的圖形.每一次彎曲對應多邊形的一個外角,而繞一圈意味著多邊形的外角之和為2π,再由外角與內角互補,得到內角和為nπ-2π=(n-2)π.第二個好處是,上述內角和公式與外角和公式不僅適用與凸多邊形,也適用于非凸多邊形.凸多邊形的內角和可通過三角剖分得到,而非凸多邊形的內角和不能通過三角剖分得到,因而上述方法將凸多邊形的內角和公式推廣到了任意多邊形.第三個好處是將外角理解為曲線的彎曲,可以將多邊形外角和公式推廣到按段光滑封閉曲線的Gauss-Bonnet公式,使得學生在學習微分幾何時,可以快速地理解Gauss-Bonnet公式的直觀意義,從而發散學生的思維,供有余力的學生思考.第四個好處是可以讓學生知道,除了歐幾里得幾何以外,還有非歐幾里得幾何.在非歐幾里得幾何中,三角形的外角和與曲面的Gauss曲率相關.