一道解幾質檢題的探究、溯源與推廣*

安徽省蕪湖市第一中學 (241000) 孫川越 劉海濤

《高考評價體系》指出:高考要從“知識立意”轉向“能力立意”,考查學生的“關鍵能力”和“核心素養”.這就要求學生在學習中,學會靈活運用所學知識分析、解決問題,達到從“解題”向“解決問題”的轉變.在解析幾何問題中,有一類圓過定點問題,背景實為兩相交直線斜率之積為定值,筆者通過曲線系法高效處理該類問題,并將問題一般化推廣,以幫助讀者在高考備考中掌握該類問題的模式化解題策略.

1 問題呈現

2 解法探究

當直線l斜率不存在時,l:x=4,點E與點M重合,點F與點N重合,不妨設E(4,3),F(4,-3),則以EF為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=9,顯然過定點(1,0)和(7,0).

綜上,以EF為直徑的圓恒過定點(1,0)和(7,0).

3 試題命制的背景

由上述解法2,不難明白該題的命制背景是:已知圓錐曲線C:f(x,y)=0與x軸(或y軸)的交點A(頂點),過x軸(或y軸)上一定點F(異于點A)的直線與曲線C交于D,E兩點,直線AD,AE與垂直于x軸(或y軸)的直線l(l不過點A)分別交于M,N兩點,則(1)直線AD,AE的斜率積為定值;(2)以MN為直徑的圓是否恒過x軸(或y軸)上的兩個定點.

4 試題的溯源

事實上,對于上述圓過定點的問題,早在2014年的福建數學聯賽預賽和2019年的北京卷中就分別以橢圓、拋物線為背景考查過.

解析：(1)x=4(過程略).

題3 (2019年北京卷·第18題)已知拋物線C:x2=-2py經過點(2,-1)．(1)求拋物線C的方程及其準線方程;(2)設O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證:以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

解析：(1)易得C:x2=-4y,準線:y=1.

5 問題的推廣

問題3 已知拋物線C:y2=2px(p>0),過點F(t,0)(異于坐標原點O)的直線交拋物線C于D,E兩點,直線OD,OE與直線l:x=m(m≠0)分別交于M,N兩點,以MN為直徑的圓是否恒過x軸上的定點?

基于此,得到如下結論:

問題2的探究類同問題1,并且同樣地可得到如下結論:

對問題3的探究也可得到: