一道橢圓數(shù)量積為定值問(wèn)題的解法探究及推廣

貴州省普定縣第一中學(xué) (562100) 姚登美

貴州省六盤水市第二中學(xué) (553401) 張 東

一、試題呈現(xiàn)

圖1

(1)求C的方程;

評(píng)析:試題改編于數(shù)學(xué)教材中的一道課后習(xí)題,試題以向量為背景設(shè)置數(shù)學(xué)問(wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生重視教材習(xí)題,學(xué)會(huì)知識(shí)遷移;第(1)問(wèn)考查橢圓的基本概念、基本性質(zhì),借助數(shù)形結(jié)合易求出橢圓C的方程.第(2)問(wèn)考查圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題,試題從向量數(shù)量積的視角立意命題,聚焦學(xué)生對(duì)圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想、解題方法的理解和應(yīng)用,綜合考查了學(xué)生邏輯推理、幾何直觀、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力素養(yǎng).

二、解法探究

評(píng)注：向量是集“形”和“數(shù)”融為一體的數(shù)學(xué)運(yùn)算工具,借助向量運(yùn)算可以處理許多圓錐曲線問(wèn)題,上述解法從向量數(shù)量積的幾何形式和代數(shù)形式給出了解答,綜合比較上述解法,點(diǎn)乘雙根法易于簡(jiǎn)化運(yùn)算、探究推廣.用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題,不僅能更牢固地掌握相關(guān)知識(shí),還能更靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí).通過(guò)一題多解,分析、比較各種解法,可以找到最佳的解題路徑,從而發(fā)散學(xué)生思維能力,對(duì)鞏固知識(shí)和解題能力大有裨益,是提高數(shù)學(xué)成績(jī)的一條捷徑.

三、結(jié)論探究及推廣

考慮到直線l過(guò)的定點(diǎn)F為橢圓的焦點(diǎn),定點(diǎn)F具有特殊性,上述解題方法有一定的局限性,這里我們對(duì)焦點(diǎn)F一般化,從橢圓方程拓展到圓錐曲線,利用點(diǎn)乘雙根法的運(yùn)算思路,做如下探究推廣.

證明：設(shè)直線l的方程為x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),聯(lián)立方程組

證法妨探究1,此略.

以上分別從橢圓x軸上的定點(diǎn)、雙曲線y軸上的定點(diǎn)和拋物線所在平面內(nèi)的定點(diǎn),對(duì)向量數(shù)量積定值問(wèn)題進(jìn)行了一般性探究,我們可得出圓錐曲線中向量數(shù)量積定值問(wèn)題的一般性質(zhì).

該性質(zhì)的證明可類比上述探究過(guò)程得到驗(yàn)證.

四、解后反思

數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò):“好的問(wèn)題和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處,它們都成串生長(zhǎng),找到一個(gè)以后,我們應(yīng)該四處看看,很有可能在很近的地方又能找到更多的”.在解題教學(xué)中,教師要善于為學(xué)生創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境,讓學(xué)生學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題,而不是為了解題而解題,搞題海戰(zhàn)術(shù)、大量刷題.在獲得問(wèn)題答案后,我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題答案類比分析、歸納重組,挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題背后隱含的一般性數(shù)學(xué)規(guī)律,更加清晰地看清數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).讓學(xué)生養(yǎng)成多角度、多層次思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維習(xí)慣,形成概括歸納、演繹推理、辯證批判的能力素養(yǎng),學(xué)生才能從機(jī)械刷題、題海戰(zhàn)術(shù)中解放出來(lái).