關于一道向量試題的變式探究

廣東省佛山市順德區容山中學 (528303) 馬崇元

平面向量兼具代數與幾何的信息,所以在求解時可分別從數與形的角度思考.因為向量的抽象性,學生在面對向量問題時常常無法發現解題的突破口.特別是當向量與其他知識相融合時,該現象更加明顯.筆者以一道向量模擬試題為例,研究其解題過程,分析其命制方式,并據此構造出多個變式供讀者參考.

一、題目及分析

二、解法呈現

圖1

反思：該解法的核心突破口在于研究了點M的軌跡,如何想到研究該點的軌跡則顯得較為突兀.為了自然的聯想到該結論,其本質在于對三角形中線公式的理解.

現利用該結論研究原問題,可得如下的解法:

圖2

三、變式探究

原問題最終都轉換為以圓為背景的最值問題,我們可從這一方向,設計出如下的變式供大家練習.

答案：上述兩個變式的答案同變式1.

在上述解答中,原問題在于探究AB中點E的軌跡,我們還可考慮通過構造AB的三等點來設計變式.在構造之前,我們先研究一下三等分線的相關公式.

類比上文中變式1-變式4的構造方法,也可將變式5進行相應的改編.在變式5中,筆者構造了三等分點的命題方式,我們也可命制出其他等分點對應的試題.