一道自主招生試題的簡證及變式

湖南省桃江縣第一中學 (413400) 胡芳舉

該題是一道自主招生試題形式優美,但證明較難,搜遍全網,只找到了一個解答(這個解答非常繁瑣,見文[1]),本文將給出這個不等式的一個簡證以及幾個變式.

一、簡證

要證原不等式,等價于證9∑cosA≤2∑sin2A+9=∑(1-cos2A)+9=12-∑cos2A?

二、變式

變式3 設ΔABC的內切圓半徑為r,外接圓半徑為R,三邊長分別為a,b,c,則∑a2≥18Rr.

注：由正弦定理及變式2可得.

變式4 設ΔABC的內切圓半徑為r,外接圓半徑為R,外心與重心的距離為d,則R2-2Rr≥d2.

圖1

變式5 已知正實數x,y,z滿足x2+y2+z2+2xyz=1,則9(x+y+z)-4xyz≤13.