妙用“三化”提升解題效益

福建省漳州第一中學 (363000) 林志展

“三化”是指特殊化、極限化、一般化．通過“三化”解題,可化難為易,化繁為簡,避免“小題大做”,甚至實現“大題小做”．

本文結合歷年全國卷的高考試題,談談“三化”在解題中的應用,供大家參考.

1 運用“三化”快速準確選定結果

由于解答選擇題與填空題無須在卷面上書寫解答過程和理由,因此為了提高作答速度,一般通過取特殊值,特殊點,特殊函數,特殊方程,特殊圖形等進行簡單的運算、推理或判斷,可快速得到問題的答案,或者否定錯誤的選擇支．

A．b1

A．-3 B．-2 C．0 D．1

例3 (2023年四省聯考,第8題)已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則( ).

A．|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B．|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C．|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D．|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

分析與解：題目有三個變量,有關于三個變量的兩個方程,如果給定其中一個變量的值,那么另外兩個隨之確定．由于a,c都可用b表示,又注意到b的范圍是(0,+∞),為此令b→0,則a→log52>0,c→-∞,則|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|,選擇B．

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

分析與解：由于題中函數f(x)是由解析式給出,為了理解題意,我們通過伸縮變換做出f(x)的圖象,如圖1．

圖1

圖1

2 運用“三化”為問題的證明提供方向

為了理解問題,尋找解法,我們必須回到片面情況、具體情況、特殊情況甚至極限情況,將問題以直觀的形式呈現,從不同視角理解題意,明確這道題的解題方向,但具體到解答步驟,還是要回到數學的抽象表達,運用嚴密的數學推理．

下面只需驗證:當直線MN的斜率存在時,直線HN過定點A(0,-2)．

綜上,直線HN過定點A(0,-2)．

(1)若x≥0時,f(x)≤0,求λ的最小值;

從上面幾道高考題可以看出,善用“三化”解題可化難為易,化繁為簡,避免“小題大做”,甚至實現“大題小做”．特別地,對于沒有思路或等價轉化后不易求解的問題,我們可考慮利用“三化”尋求解題思路或者優化解答的過程,往往能使解題峰回路轉,或達到事半功倍的效果．