一道聯考題的命題背景及拓展*

湖南省常寧市第六中學 (421099) 王 麗

湖南省衡東縣第一中學 (421400) 朱亞旸

湖南省常寧市第二中學 (421500) 王小國

一、考題再現

二、背景分析

本題的背景在人教A版教材有四處,分別如下:

背景1 (選擇性必修二第88頁綜合運用)已知圓的一條直徑的端點分別是A(x1,y1),B(x2,y2),求證此圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

圖1

圖2

背景4 (選擇性必修二第146頁第11題)已知ΔABC的兩個頂點A,B的坐標分別是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0),求頂點C的軌跡.

以上四道教材習題都有共同的特征,存在關于軌跡的對稱中心對稱的兩點A,B,對軌跡上任意點P,都有直線PA,PB的斜率之積為一個定值,其一般情形可以歸結為:

定理2 若AB為“有心圓錐曲線”的直徑,點M為曲線上異于A,B的任一點,則kAM·kBM=e2-1.(圓可視為離心率為0)如圖3.

圖3

推論2若點M是“有心圓錐曲線”的弦AB的中點,其中AB不平行于對稱軸且不過曲線中心O,則kAM·kBM=e2-1.如圖4.

圖4

我們現在用點差法對橢圓進行證明,雙曲線、圓可類似證明.

其本質與定理2是一致的,即kOM·kPB=kPA·kPB=e2-1.

利用上述結論,我們可容易給出考題的答案.

圖5

三、試題鏈接

圖6

圖7

四、結語

中學數學教材中的習題凝聚了幾代數學教育家的智慧,具有典型性、示范性、遷移性等特點.其背后隱藏著深遠的數學背景,是高考數學試題命題的附著點與根源,具有深刻的研究價值.縱觀近十年的高考數學題,大量命題都與教材關聯密切.因而,作為教師在指導學生高三數學復習時要適時回歸教材,通過對教材中有價值的材料以及拓展資源,鏈接歷年高考試題,培養學生能系統地對教材進行深入思考,深度挖掘,延申拓展的意識,深度整合并展示其共性規律,幫助學生完善知識網絡,促進深度學習.也讓教材成為提升學生思維能力的一種工具,基于此,在數學問題求解中,便能借助模型、規律的敏感性,既使得問題化繁為簡,事半功倍!也能火眼金睛,看清問題之本質.