指向核心素養的單元整體教學設計及思考
——以“直線的傾斜角與斜率”教學過程為例

浙江省金華第一中學 (321015) 魏 燕

課堂教學是落實數學核心素養的關鍵,教學設計正是連接課程標準、教材及課堂教學的橋梁.單元整體教學是新課程強調的重點,其教學設計同樣強調從知識的聯系出發,關注教學目標的整體性、層次性、遞進性,在學生獲得“四基”、提高“四能”的過程中落實核心素養.本文以“直線的傾斜角與斜率”教學過程設計為例,談幾點思考.

1 教學過程設計

1.1 閱讀章引言,構建先行組織者

引導語上一章我們以空間向量為工具研究了空間圖形的位置關系和距離、角度等度量問題,與立體幾何初步的方法比較,你認為用向量方法研究幾何問題的特點是什么?

問題1 解析幾何是一門怎樣的學科?它經歷了怎樣的發展歷程?本章要學哪些內容?按怎樣的路徑展開?請大家閱讀章引言,并給出回答.

設計意圖：通過回顧向量法、閱讀章引言、展示解析幾何的發展歷史,初步構建用坐標法研究曲線的主體框架.

1.2 探索直角坐標系中確定直線位置的幾何要素

問題2 按照以往的經驗,我們從最簡單的幾何圖形直線開始研究.根據上述研究思路,為了用代數方法研究直線,首先要明確在直角坐標系中確定直線位置的幾何要素,然后用代數方法把這些幾何要素表示出來.確定一條直線的幾何要素是什么?對于直角坐標系中的一條直線,如何利用坐標系確定它的位置?

追問1“兩點確定一條直線”不需要借助直角坐標系.我們要利用直角坐標系給直線“定位”,那么直角坐標系的定位功能體現在哪里?

追問2 為了幫助大家思考,我們來觀察圖1.在平面直角坐標系中,經過一點P可以作無數條直線…,它們組成一個直線束,如何利用坐標軸把這些直線區別出來?(教師用GeoGebra直觀展示在平面直角坐標系中經過一點有無數條直線;學生小組合作探究,教師聆聽,適時點評,引導學生以x軸為基準思考這些直線的差異,發現這些直線相對于x軸的傾斜程度不同.)

圖1

追問3 如何用數學的方法刻畫“直線相對于x軸的傾斜程度”?

在此基礎上,推廣到一般,給出傾斜角的定義.

追問4 你認為直線的傾斜角在什么范圍內變化?

設計意圖：探索坐標系中確定直線位置的幾何要素,以發揮直角坐標系的定位功能為思維導向,通過問題引導學生開展探索活動.

第一步,明確直角坐標系的定位功能體現在原點為“基準點”、坐標軸為“基準方向”;

第二步,以公共點在x軸上的直線束為特例,探索利用坐標軸把這些直線區分開來的幾何條件,在動態幾何軟件的幫助下實現從“傾斜程度”(定性)到“傾斜角”(定量)的過渡;

第三步,從具體到一般,得出傾斜角的定義和范圍.

這是在“以直角坐標系為工具刻畫直線的幾何要素”的目標引領下的探究活動,本質上是以坐標法思想為指導,使學生在解析幾何入門階段就對如何發揮坐標系的作用留下深刻印象,有利于學生理解傾斜角概念的內涵,并在概念形成過程中提升理性思維水平.

1.3 推導過兩點的直線斜率的計算公式

問題3 在平面直角坐標系中,一條直線l可以由一個點和一個傾斜角唯一確定,它顯然也可由其上的兩點P1、P2唯一確定.所以,可以斷定,直線l的傾斜角一定與P1、P2兩點的坐標有內在聯系.到底具有怎樣的聯系?可以用什么方法來建立這種聯系?

追問1 為了探尋思路,我們利用向量方法來解決幾個具體的問題.設直線l的傾斜角為α,

追問2 你能將上述問題的解答推廣到一般嗎?也就是說,如果直線l經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么α與P1、P2的坐標又有怎樣的關系?

追問3 當直線傾斜角為0°時,上式成立嗎?為什么?

設計意圖：問題2與三個追問按如下思路展開:

首先,在“同一對象的兩種表示一定有內在聯系,可以相互轉化”的思想指導下,提出問題,并啟發學生從“定量刻畫方向”的角度思考把直線的傾斜角和直線上兩點的坐標聯系在一起,進而想到直線的方向向量.

1.4 從聯系的角度辨析和理解公式

問題4 請同學們思考一下,生活實際中有沒有與傾斜程度、傾斜角、斜率等類似的概念?(引出當直線傾斜角為銳角時,直線的斜率與坡度類似)

追問1 直線斜率隨傾斜角如何變化?為什么?

追問2 過兩點的直線斜率公式適用于傾斜角為90°的直線嗎?

設計意圖：根據以往的學習經驗,在得出一個數學概念、定理等之后,我們要從不同角度、聯系相關知識以加深對它的理解.

追問3 你能發現直線的方向向量與斜率之間的關系嗎?

設計意圖：直線的方向向量及其坐標表示是重要而有用的知識,通過建立斜率與它們之間的聯系,一是加深對斜率的理解;二是要讓學生在今后的學習中養成運用向量表達幾何元素、研究幾何問題的習慣,特別是在解決與大小和方向相關的問題時,聯系向量及其運算是非常奏效的方法;三是使學生體會向量法和坐標法的內在關聯,為后續學習奠定基礎.

1.5 學以致用,解決問題

例已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),分別求直線AB、BC、CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角?

設計意圖：鞏固斜率公式,在應用中感受傾斜角與斜率之間的關系.

1.6 課堂小結,形成結構

問題5 請同學們帶著如下問題回顧本節課的學習過程,并給出回答.

(1)在直角坐標系中,確定直線位置的幾何要素是什么?在得出這些幾何要素的過程中,我們利用了直角坐標系的哪些功能?

(2)傾斜角是刻畫直線相對于x軸的傾斜程度的幾何量,為了將它代數化,我們利用了哪些數學思想方法?

(3)在用向量方法推導過兩點的直線斜率的計算公式時,我們經歷了怎樣的過程,用了哪些數學思想方法?

(4)傾斜角、斜率、直線的方向向量等都刻畫了直線的方向,由此你能想到哪些問題?

(5)說說以直角坐標系為工具解決幾何問題的大致步驟.

設計意圖：(1)小結時關注傾斜角概念的同時,通過對直角坐標系功能的總結可以使學生明白如此定義傾斜角的理由.(2)將傾斜角代數化為斜率,首先是數形結合與轉化,這是解析幾何的根本思想;由“兩點確定直線”而斷定可用兩點的坐標表示傾斜角,由傾斜角刻畫了直線的方向,從而聯想到直線的方向向量,并建立傾斜角與方向向量、三角函數之間的聯系,反映了數學的整體性、聯系性,其中“一個對象的不同表示方式之間一定有內在聯系,可以相互轉化”的思想指引著思考的方向.這些思想、觀念蘊含于斜率概念的形成過程中,通過小結將它們揭示出來,有利于學生領悟數學基本思想、積累基本活動經驗,對理性思維的發展也很有好處.(3)在推導斜率計算公式時,從特殊到一般、分類討論、數形結合、聯系與轉化等眾多數學思想方法都在發揮著作用.(4)傾斜角、斜率、直線的方向向量都刻畫了直線的方向,首先想到的是如何建立這些概念之間的聯系、實現相互轉化,另一個是它們之間的差異性,傾斜角為90°時斜率不存在,此時方向向量的表達則更具有靈活性.(5)使學生在解析幾何入門階段就形成坐標法的較為深刻的印象.

1.7 目標檢測,檢驗效果

題1 已知A(1,1),B(3,-1),C(a,8)三點共線,則a的值為________.

題2 已知點A(1,2),請在y軸上求一點P,使直線AP的傾斜角為120°.

設計意圖：考查學生斜率的坐標公式及傾斜角與斜率關系的掌握情況.

2 幾點思考

2.1 教學設計應聚焦在哪?

教學設計的聚焦應在于借助教學內容體現數學的基本思想和解決問題的一般思路.本節課是解析幾何單元的開篇,承擔著從宏觀上明確研究對象、構建研究框架、形成研究路徑等任務.所以,在開篇伊始就注重解析幾何基本思想、用坐標法解決問題的基本思路的滲透,這是本教學設計的一個基本指導思想.引導學生類比用向量方法研究幾何問題的基本思想和“三部曲”,并通過閱讀教科書的章引言,使學生明確解析幾何的基本思想、了解研究路徑,從而構建起學習本章內容的先行組織者.

2.2 怎樣發揮單元起始課在單元整體教學中的功能?

良好的開端是成功的一半,單元起始課的地位舉足輕重.單元起始課應在單元整體框架下進行設計,設計中要注意把握與本單元其他內容研究方法的整體性;知識形成的邏輯性;思想方法的一致性;研究方法的普適性、思維的系統性,這樣不僅可以防止碎片化的學習,也能凸顯單元開篇課在單元中的開啟和引領價值.

2.3 如何在教學中落實數學核心素養?

本節課是解析幾何的開篇課,處于最基礎階段,但蘊含著豐富的數學思想方法,其中最突出的是確定直線位置的幾何要素的多元聯系表示,由此產生的數學思想方法,由此引發和提出的數學問題.本教學設計抓住“聯系”,在“直線l的方向一傾斜程度(定性)一傾斜角(定量)”和“兩個點確定直線l,則兩個點的坐標與傾斜角必然有內在聯系”這兩個關鍵點上,通過層層遞進的問題引導學生開展探究活動,體會坐標法思想,培養邏輯推理、數學抽象等關鍵素養.所以,教學設計要關注教學目標的整體性、層次性、遞進性;充分保證能有效地開展“四基”“四能”教學,在使學生獲得“四基”、提高“四能”的過程中落實數學核心素養,優化個性品質.