探尋思維留痕　落實素養無痕

摘 要：文章以一次考試卷上的錯題為例，通過對問題的發現、問題的提出、問題的思考、問題的解決，引導學生逐步地掌握對題目理解—分析—解題—反思的方法；引導學生重視錯題，能夠把所學的知識融會貫通，感受題目萬變、知識不變的真諦，教會學生思考的途徑和方法，提高學習效率，落實數學核心素養。

關鍵詞：錯題；問題；聯想；反思；核心素養

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2023）31-0111-04

浙教版七下第一章《平行線》是初中平面幾何的核心內容，也是研究線的位置關系與角的數量關系的重要依據。平行線與角之間的聯系緊密，且構成的圖形豐富，問題設計圍繞性質和判定兩個互逆的角度，體現數學知識內在聯系和辯證統一的思想，發展學生的空間觀念與邏輯推理。如何有效地為學生構建前后一致、思路清晰、層次分明且自然的成長的課堂？文章以一節試卷講評課分享如下：學問，先學再問，問而后學，是一個循環往復的過程。

一、 以錯題探尋思維的痕跡

顧名遠教授說：“新世紀的教育要求學生獨立思考，敢想敢做，勇于創新，不能提出問題的學生不是一個好學生。”學貴質疑，有疑必有思，有思必有問。學生“學會”提出問題，雖不能解決問題，但能夠提出問題相當于把問題解決一半，提不出問題自然不知道怎樣解決問題。精細處理解題的過程可以說是自問、自答、自編、自演的一個過程。

傳統教學導致學生習慣被喂養，沒有主動挖掘問題的意識，不會用相關的數學知識去試試看。所謂會，一眼看出答案便是會，稍微拐個彎就不會，何談思考。學生不會提問，問就簡單兩個字：不會。老師追問哪里不會，他答都不會，沒有自己的思維，讓老師不知從何講起；只會“紙上談兵”似的認字讀題，不知如何解讀題意、使用條件，不明確解題目的，不知如何建立條件和結論的聯系。課堂內外都需要教師引導學生意識到錯必有問、找問、解問等。

首先，教師要鼓勵學生說出自己的想法，鼓勵其自我反思，去探索和發現學習數學的方法，勿用自己的教學經驗和“身份”隨意地束縛學生的想法。課堂上，教師“舍”給學生足夠質疑與反思的時間，“得”思維碰撞之火花。學生會柳暗花明又一村地帶給教師一個又一個的驚喜。其次，數學學習避免不了錯題，對錯題講解比上新課更有挑戰性。將錯簡單分不會錯、會錯兩類。不論什么原因，終究會有部分學生，老師講我懂，換一類似題目，自己就是想不到。學生一般都會認真對待檢測卷上的試題，對每道題的思考相比平時會更充分。講解這類全員充分思考過的題目比較有針對性：①顯性的書寫痕跡記錄當時思考的過程。②考后有寬裕的時間，有針對性地找學生個別交流說出自己想法，教師收集典型的想法備課，課堂上讓學生展示自己當時的想法，老師根據學生的困惑關鍵處及時引導，提高學生的解題能力和課堂效度?！叭齻€臭皮匠，頂個諸葛亮?！闭n后教師要與學生個別交流，也要鼓勵和引導學生相互交流，讓問題意識時刻伴隨、得到更好地鞏固和延續。借用美國教育家布魯巴克的“最精湛的教育藝術，遵循的最高原則，就是學生自己發現問題和提出問題”與大家共勉。

二、 以問題提出讓思維留痕

在試卷講評教學中，教師要站在學生的角度思考，想學生之所想，要調動學生積極參與充分展現學生的思維過程。如對學生思維終點、盲點等要細致分析和合理指導，優化學生思維。

學生遇到綜合性比較強的問題，第一反應不知道怎么想，沒思路，條件不知道怎么用。文章通過對幾道錯題的思考引導學生聯想和反思解題。在解題教學中，教師要盡可能地引導學生展示并感悟數學解題思維過程，在清楚“如何做”的基礎上，更要理解“為何這樣做”，避免機械盲目地生搬硬套。對一道原本枯燥的題目，我們通過不斷的聯想與深度的反思，得到一個又一個結論。

在數學學習中注重對學生思維的訓練，教師要站在更高角度去思考，呈現出適合大眾口味的解題方法，讓每一個學生易于理解，快速接受，一切的知識都自然生成。對一道題，教師要善于從深淺不同層次，運用不同的方法解決，比較解法的優劣，掌握一定的解題技能。對習題分類講解，教會學生識別題目的類型，選擇合適的方法進行合理的想象和思考，以不變的數學知識解決萬變的數學題。以下是筆者對一份試卷講評課的課堂展示，包括發現問題、提出問題、分析問題、解決問題環節。教師精心設計問題，在問題串中漸進思考。

師：在同一平面內，兩條直線的位置關系有幾種？生：相交和平行。

師：板書畫出圖形。師：在兩條相交的直線中，有哪些你熟悉的角？生：有對頂角、互為補角、平角三種角。

師：兩條平行線只有平角，如何產生內錯角、同旁內角、同位角？生：截線。

師：截線（線段、射線、直線）是除平行線外的第三條線，這條線決定平行線的性質和判定合理的選擇。

問題1：如圖1，請根據下列要求回答問題：

（1）若AB∥CD，你能得到哪些結論？（2）請添加一個條件，使AB∥CD。

本題意圖：在完整三線八角圖中，既復習平行線的性質和判定，又易于發散學生思維，打開學生思維之門，為之后思考作鋪墊。

問題2：如圖2，∠3=40°，直線b平移后得到直線a，∠1+∠2=＿＿＿＿ °。

本題意圖：比較學習，當截線不是以直線，而分別以線段、射線出現，學生該如何分析呢？三線八角圖不是以完整的方式呈現，而是隱去某些部分得到非完整的三線八角圖。解決問題方式是返璞歸真，把隱去部分合適地顯現。方法一：分析本題除去兩條平行線a、b，剩下兩條是射線，截平行線中的其中一條線，通過把射線反向延長展示完整的三線八角圖。方法二：過∠2的頂點畫平行線，射線巧成截線，畫平行線一舉兩得把兩條截線利用起來。

問題3：數學課上，張老師給出這樣一個問題：

已知：如圖3，直線a∥b，a∥c，請說明：b∥c。請你把小明的說明過程補充完整：

說明：作直線l分別和a，b，c相交（如圖3）

∵a∥b（已知）

∴∠1=＿＿＿＿，（＿＿＿＿＿＿＿＿）

又∵a∥c（已知）

∴∠1=＿＿＿＿，（兩直線平行，內錯角相等）

∴＿＿＿＿

∴b∥c，（＿＿＿＿＿＿＿＿）

由此我們可以得到一個基本事實：平行于同一條直線的兩條直線互相＿＿＿＿＿＿＿＿。

本題意圖：當沒有截線該如何添輔助線呢？填空的方式大大降低了題目難度，如果單獨作為命題給出，學生難想到，這樣的截線有無數條給學生帶來無限遐想和回味。

問題4：如圖4，已知射線OA∥射線CB，∠C=∠OAB=100°。點D、E在線段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC。

（1）試說明AB∥OC的理由；（2）試求∠BOE的度數；（3）平移線段AB，①試問∠OBC：∠ODC的值是否會發生變化？若不會，請求出這個比值；若會，請找出相應變化規律。②若在平移過程中存在某種情況使得∠OEC=∠OBA，試求此時∠OEC的度數。

本題意圖：當截線很多該如何選擇合適呢？以試卷最后一題為例，開啟幾何分析、思考解題之旅。

數學離不開解題，而解題與聯想、反思是緊密相連的，成功有效的解題過程中必然伴隨著一系列的聯想和反思，豐富多彩的聯想和反思，往往能帶來更多的信息，才能使你的思維變得更加明朗，提高思維的廣闊性、靈活性和創造性，有助于思維的優化，讓你進入新的境界，最終為我們的解題創造出一個又一個的精彩。

教師應教會學生如何閱讀題目，如何正確解讀題意，充分合理地理解題意。根據題目所提供的條件，教會學生想象像主持人一般，邊讀題目，邊讓題目形象地登場——復雜問題是多個簡單問題的疊加，自己畫圖把復雜圖形問題簡單化如圖5所示。

分析除去兩條平行射線OA與射線CB，余下的五條線段OC、線段OE、線段OD、線段OB、線段AB都有可能是截線。此時，按照語句順序看下一個條件“∠C=∠OAB=100°”。參看原圖形，∠C帶來線段OC的出場；∠OAB帶來線段AB的出場；很清晰地選出真正截線為線段OC，同旁內角∠C與∠COA互補，或者選擇線段AB為截線，則∠CBA與∠OAB互補，加上∠C=∠OAB這個條件，這四個角相互有了聯系，不難證明AB∥OC。

教學中，從條件出發把學生可能有的想法自然生成，學生教學生，讓學生感受不同人的理解，發散思維，從復雜圖形中分離出簡單基本圖形，從視覺上、心理上降低題目的難度，本質是幾個簡單圖形的疊加。

閱讀題目的文字，解讀出題者用意，廣泛應用于數學所有類型的題目。

如第（2）小題，∠BOE不是題中直接提到的角，沒有直接提到就是間接形成，可以看成角的和與差，或者找到與之相鄰的角，或者找與其有關系的角等。結合已知條件自然看成∠DOE（OE平分∠DOC）與∠BOD（∠DOB=∠BOA）之和，在思考問題過程中要充分挖掘已知條件和所求之間的聯系，這個聯系就是解題的鑰匙。

第（3）題第①問，平移線段AB，題中唯一動態元素，動靜是相對的，動在某一個時刻轉化為靜，整個圖形是靜態。圖形大小發生變化，要抓住不變的量?！耙阎渚€OA∥射線CB，∠C=∠OAB=100°。點D、E在線段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC；第（1）說明AB∥OC”，這些條件不變?！螼BC與∠ODC是之前沒有提到過的角，回顧角的靜態定義，角是由公共端點兩條射線所組成的圖形。這兩個角涉及線段OD、線段OB、線段CD與射線CB在同一直線上，想到線段CD與射線CB是建立兩個角聯系的媒介，根據所求，執果索因去找相關的條件，鎖定“已知射線OA∥射線CB”這個條件。線段OD、線段OB恰巧是平行線的截線，產生內錯角，通過平行線的性質建立角之間的關系∠OBC=∠BOA，∠CDO=∠DOA，看似與條件無直接關系的角，通過等量替換，兩個角的關系就顯現。幾何題往往需要瞻前“條件”和顧后“結論”雙管齊下去突破。充分挖掘題目條件相關的知識、更細化地分析條件，是大家能夠理解接受的分析方式。結合以上分析呈現三幅分解圖（隱去部分線條，非完整的三線八角圖）如圖6。

由上一題作鋪墊，再分析第②題，學生初步接觸掌握了分析、思考的方法，讓學生模仿、創新地說出自己思考的過程，盡管在語言表達上有所欠缺，但是大多數學生有思路。在平時的教學中需要多加訓練和鞏固這樣的分析方式。

本小題解題思路展示如下：根據結論提到的兩個∠OEC與∠OBA出發比較容易突破?！螼EC由線段CE、線段OE組成，由線段CE找到條件“已知射線OA∥射線CB”，這個條件反復多次靈活地通用于三個小題，關鍵是這組平行線間的多條截線所導致各種不同。通過平行線的性質得到∠OEC=∠AOE。同理∠OBA由線段OB、線段AB組成，找到結論“（1）試說明AB∥OC的理由”，在實際應用中學生往往會忽視“來自新獲得的結論”這個隱性的條件。通過平行線的性質得∠OBA=∠COB。研究∠OEC=∠OBA通過平行線的性質轉化成為∠AOE=∠COB之間的關系。這兩個角減去公共部分得到∠COE=∠BOA，結合“∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC”，問題就不攻自破。

通過對這張試卷的分析，感悟教師應該教會學生如何分析題目、教會學生如何合理利用條件和結論，教會學生如何合理地提出問題，教會學生自然學會分析題目背后隱藏的最本質的東西（書本上的定義、定理、法則、經典例題等）。本課內容圍繞三線八角圖形成關鍵是截線，結合基本的定義、定理、判定等，準確把握條件和結論，雙雙分析、反思從而自然、正確地解題。相比語言文字，圖形可以更直觀形象地幫助學生理解。在幾何教學課上，教師應該教會學生自己畫圖，自己畫圖貌似浪費時間，其實是磨刀不誤砍柴工的方法，學生如同玩拼裝玩具拆開又拼起來，身臨其境地從復雜圖形中分離出基本圖形如圖7，從視覺上有效排除干擾，從而激發學生的學習興趣，簡明、易懂、高效、快速地解決問題。

返璞歸真地思與問，回歸數學本質的提問與思考是每個學生易于接受、能夠接受的分析方法。對數學的學習是數學知識靈活地演繹和變形，進一步強調數學學習要回歸書本，讓書本作為知識的根，成為穩健的根基，才能結出有效的數學學習成果。

參考文獻：

［1］孫宇博.培養高中生提出數學問題能力的策略研究［D］.長春：東北師范大學，2015.

［2］章建躍.樹立課程意識 落實核心素養［J］.數學通報，2016（5）：1-4，14.

［3］侯有岐.聯想和反思讓數學解題更加精彩［J］.高中數理化，2018（14）：4-5.

作者簡介：項珠確（1983～），女，漢族，浙江衢州人，浙江省衢州正誼學校，研究方向：初中數學教學與研究。