對2023 屆佛山市二模第21 題的深度探究

廣東省佛山市教育局教研室(528000) 彭海燕

佛山市順德區(qū)羅定邦中學(xué)(528300) 龍宇

在近幾年的高考或模擬試題中,定點(diǎn)定值問題一直是常考的熱點(diǎn)問題.而解決此類問題的策略主要是通過基本量法,通過點(diǎn)的坐標(biāo)表示出所求關(guān)系式,結(jié)合韋達(dá)定理利用設(shè)而不求的思想進(jìn)行求解.但該解法對應(yīng)的運(yùn)算量較大,筆者通過探究發(fā)現(xiàn)此類問題可通過調(diào)整運(yùn)算順序來降低運(yùn)算量,或通過平移齊次化直接討論斜率間的關(guān)系.在剛剛進(jìn)行的2023屆佛山市第二次模擬考試中,其中第21 題以雙曲線為背景,通過斜率之積為定值考察雙曲線的相關(guān)幾何性質(zhì),其本質(zhì)即是判斷直線過定點(diǎn).筆者在上述解法的基礎(chǔ)上,經(jīng)過反復(fù)思考,發(fā)現(xiàn)原問題還可通過“調(diào)和點(diǎn)列”的斜率性質(zhì)進(jìn)行論證,且由此獲得斜率之積與之和的一般線性表達(dá)式.現(xiàn)將探究過程整理如下,以饗讀者.

一、試題及分析

題目(2023 屆佛山市第二次模擬第21 題)已知雙曲線C:=1 (a >0,b >0)的左頂點(diǎn)為A,焦距為4,過右焦點(diǎn)F作垂直于實(shí)軸的直線交C于B、D兩點(diǎn),且?ABD是直角三角形.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)點(diǎn)M、N是C右支上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線AM、AN的斜率分別是k1、k2,若k1·k2=?2,求點(diǎn)A到直線MN的距離d的取值范圍.

分析第(1)問考察雙曲線的定義以及簡單的幾何性質(zhì),答案為x2?=1,過程略.本文主要討論第(2)問,第(2)問中的兩條動(dòng)直線的斜率之積為定值,其本質(zhì)是發(fā)現(xiàn)直線MN過定點(diǎn).后續(xù)問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算一個(gè)定點(diǎn)到過一個(gè)定點(diǎn)的直線的距離問題,所以本題的核心在于發(fā)現(xiàn)該定點(diǎn).常見的解題策略包括: 構(gòu)建直線MN的方程,利用點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合斜率關(guān)系計(jì)算出定點(diǎn);其次則是利用平移齊次化,構(gòu)建出關(guān)于斜率的二次方程,結(jié)合韋達(dá)定理求解;這兩種解法較為常規(guī),但運(yùn)算量較大.經(jīng)過筆者的探究,發(fā)現(xiàn)還可通過構(gòu)造一組調(diào)和點(diǎn)列進(jìn)行研究,并且該解法更容易進(jìn)行推廣.上述分析是默認(rèn)“定點(diǎn)”存在,但學(xué)生在實(shí)際的求解過程中要需要進(jìn)行探究,甚至沒有這個(gè)方向感.由此可知本題的難度較大,筆者建議在設(shè)問的過程中應(yīng)有所提示才好.現(xiàn)將證明及思考過程展示如下.

二、解法呈現(xiàn)

整理可得(2m2+1)y1· y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0,代入韋達(dá)定理可得3(n2?1)(2m2+1)?12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2?1)=0.化簡消掉所有含m的項(xiàng),解得n=5 或n=?1(舍).由此可知直線MN恒過定點(diǎn)(5,0),此時(shí)直線MN的方程為:x=my+5.

評注本題的核心在于發(fā)現(xiàn)直線MN過定點(diǎn),后續(xù)的解答過程僅作為完整性進(jìn)行呈現(xiàn).回看整個(gè)解題過程,通過結(jié)論來觀察,選擇以y為主變量有效地簡化了運(yùn)算.通常當(dāng)定點(diǎn)位于x軸時(shí),則以y為主變量,反之亦然.其次,對于本題的核心表達(dá)式(x1+1)(x2+1),上文是通過直線方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解,化簡難度較大,可通過“雙根法”進(jìn)行簡化,本文不作細(xì)致介紹.

解法2(調(diào)整運(yùn)算順序,提升解題效率[1])聯(lián)立直線與雙曲線,通過韋達(dá)定理獲得關(guān)系式,將條件代數(shù)化引用韋達(dá)定理進(jìn)行求解.筆者嘗試過更改運(yùn)算順序,能有效地提升運(yùn)算效率.具體如下:

評注該解法從運(yùn)算量而言起到了極大地簡化作用,在具體求解過程中只需要計(jì)算兩條直線的交點(diǎn)并代入雙曲線方程即可,后面即可用同理的思想進(jìn)行.而且在求解過程中直接求得關(guān)于m1、m2的方程,不需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化,也極大地提升了解題效率.而且利用該解法,若解題者不能預(yù)知定點(diǎn)的位置而選擇以x為主變量,其運(yùn)算難度也不會增加很多,請感興趣的讀者自行驗(yàn)證,本文不再贅述.

解法3(平移齊次化,構(gòu)建斜率方程求解[2])在上述解法2 中,構(gòu)建了關(guān)于m1、m2的方程(本質(zhì)就是獲得關(guān)于k1、k2的方程).在一般情況下,我們可以通過平移齊次化的技巧,直接進(jìn)行構(gòu)建.

評注該解法直接探討斜率的關(guān)系,運(yùn)算量最小,而且便于推廣.

三、命題推廣與變式研究

在上述問題中,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)斜率之積為定值時(shí),對應(yīng)的直線過定點(diǎn).接下來,筆者將利用上述解法三將原問題拓展至一般情況.

為此,我們還可將上述命題遷移至橢圓或拋物線.其結(jié)論與證明過程均與上文相同,本文不再贅述,請感興趣的讀者自行研究.

在上述推廣過程中,我們分別探討了斜率之和、之積與倒數(shù)和(倒數(shù)和是前兩種形式的組合形式).經(jīng)過筆者的探究,發(fā)現(xiàn)題干中涉及到的斜率還可通過“調(diào)和點(diǎn)列”的性質(zhì)進(jìn)行研究.筆者猜想,原試題即可能是通過該性質(zhì)命制的.接下來本文以原問題為例,利用該性質(zhì)求解.

比較條件(k1+k2)·k=1 與k1·k2=?2,考慮到學(xué)生主要采用解法1 進(jìn)行求解,若以前一個(gè)條件為題干,學(xué)生所面臨的計(jì)算量將成倍遞增.根據(jù)上述性質(zhì)可知,當(dāng)直線過定點(diǎn)時(shí),對應(yīng)的斜率之積與之和滿足一個(gè)線性表達(dá)式,再命制試題時(shí)可以通過確定一部分來探究另一部分或?qū)?yīng)的定點(diǎn).

現(xiàn)根據(jù)上述模型將原問題推廣至一般化:

命題4雙曲線C:=1(a >0,b >0)的左頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)T(t,0)的直線(其斜率為k)與雙曲線C交于點(diǎn)M、N,設(shè)直線AM、AN的斜率分別是k1、k2,則k1、k2,k滿足表達(dá)式: 2ak1k2+(t?a)k(k1+k2)=0.