對課本上拋物線焦點弦的一個性質兩次推廣

華南師范大學附屬中學(510630) 羅碎海

華南師大附中汕尾學校(516600) 謝賢祖

我們學漢字是一個一個死記硬背的,而學數學卻不能這樣,要像數數一樣往下順,由前知后、由點知面、舉一反三;要注意代數形式與幾何內容的統一;要注意普遍性與特殊性之間的聯系.以下我們從對課本例題的分析與研究,認真體會數學的學習方法、體會數學的發展變化規律.從而更好的學習數學、應用數學.

引例[1](普通高中教材數學選擇性必修第一冊第136 頁例5)“經過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,經過點A和拋物線頂點的直線交拋物線準線于點M,求證: 直線MB平行于拋物線的對稱軸.”(解答見課本[1])

原題翻譯成數學語言就是: 過拋物線C:y2=2px焦點的一條直線與拋物線交于兩點A,B,通過點A和拋物線頂點O的直線交準線l:x=于點M,求證: 直線軸MB//OX軸(如圖1).

圖1

探究1該命題的逆命題如何?

逆命題有兩種形式:

由于原命題本質是充要條件的命題,所以兩個逆命題都為真命題,也可以說是原題的另兩種等價形式.

等價形式(1)就為2001 年全國高考題:

“拋物線y2=2px(P >0) 的焦點為F,經過點F的直線交拋物線交于A、B兩點,點C在拋物線的準線上,且BC//X軸,證明直線AC經過原點O.”

探究2對拋物線所具有的如上性質,別的圓錐曲線如何?

若將原拋物線換為橢圓,自然得到有下列敘述:

認真推算,發現直線AC并不經過橢圓的左頂點.這種推廣不對.是不能推廣還是推廣的方向搞錯了呢? 要注意原題中的元素的多重性質,點O是拋物線的頂點,但也是線段FE的中點,所以還有別的形式.

經過推算,可知(4)是正確的,(3)不正確.“點O是線段FE的中點”才是原題的本質,“點O是拋物線頂點”只是表面現象.到此可得雙曲線中相應的命題:

圖2

探究3既然三種曲線都具有類似的性質,而三種曲線有統一定義和統一的方程(極坐標方程),那么應該有統一的證明方法吧!

三種曲線的統一證明取F為極點,Fx為極軸,建立極坐標系.設∠AFX=θ,A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π)則

(如圖3,上式可在直角坐標系中證明:

圖3

FD=ρ1cosθ,EF+FD=p+ρ1cosθ=AH=所以ρ1=FA=

ρ2=BF=因為NF//CB,所以

根據圓錐曲線第二定義,有e=,所以

又p=|EF|,所以N是EF的中點.

這是一個一般性的結論與一般性的證明.一個特殊例子就是:

探究4 以上問題中涉及的焦點與準線,從更廣意義上可認為是極點與極線的特殊問題.那么對一般的極點與極線該問題如何?

進一步探討有:

(7)更一般的問題: 如圖4,過定點P(x0,y0)的直線交橢圓C:=1(a > b >0)于A、B兩點,點P不在橢圓C上,過點A作直線=1 的垂線,垂足為E,求證: 直線BE過定點.

圖4

分析如圖5,不妨設定點P(x0,y0)在橢圓內部,直線l:=1 是點P所對應的極線,延長BA交直線l于點Q,作BH ⊥l于點H,PM ⊥l于點M,設PM與BE交于點T,由極點與極線性質,設=λ[2][3].則

圖5

所以

所以PT=MT.所以直線經過定點T,該點是線段PM的中點.

綜上,我們得知: 最初問題中的“直線MB平行于拋物線的對稱軸”不是問題的本質,本質應是“直線MB垂直于拋物線的準線”.最初的焦點弦性質其實是任意一點與其對應極線的性質.

問題經過拋物線向一般圓錐曲線推廣,從焦點與準線向一般極點與極線推廣,實現了知識的體系化,實現了認識上的升華.這時,我們的認識已不限于拋物線中,也不限于圓錐曲線的焦點,而是對于任意的圓錐曲線與任意一點可以編制題目,達到了“隨心所欲不逾矩”的地步.

任何一個問題的出現,可能是某一問題的特殊情況,我們只有探求其普遍性,才能認識原問題的本質.數學學習是這樣,其它問題也是這樣,即“透過現象看本質”,而數學教給我們這種思想方法: 注意多重性,追求普遍性.