例談雙元不等式證明中的消元策略

廣東省河源高級中學(517000) 李佳炎

雙元不等式的證明是高考中的熱點,同時也是學生的難點,由于高中階段學生僅學習了一元函數的導數,因此證明雙元不等式的總體思路就是消元,化雙元不等式問題為單元不等式問題,如何進行消元成為了解題的關鍵.對于不同的題目,消元的策略是不同的,本文以近年高考真題及模擬題為例,探討三種主要的消元策略.

策略一: 主元策略

當兩個變量是獨立時,不妨將其中一個變量作為主元,另一個變量固定成參數,這樣雙變量不等式就變成含參單變量不等式,這時可以直接構造一元函數來處理.

評析例1 中x1,x2是獨立雙變量,可以采用主元策略來證明不等式,由于x1,x2是可分離的,因此先轉化為證明f(x1)+x1

例2 (2020 年高考天津卷) 已知函數f(x)=x3+klnx(k ∈R),f′(x)為f(x)的導函數.

評析例2 的x1,x2是獨立雙變量,但與例1 不同的是,例2 的雙變量不能分離,因此考慮把其中一個變量作為主元(例2 中的x1),把另一個變量看成參數(例2 中的x2),直接構造一元函數,借助函數單調性來證明不等式.

策略二: 換元策略

當兩個變量之間有等式制約關系時,我們可以考慮換元策略,換元策略一般有兩類,第一類換元策略是將不等式中的一個變量換成另外一個變量,從而將雙變量不等式變成單變量不等式;第二類換元策略是引入第三個變量,將不等式中的兩個變量用第三個變量去表示,這樣待證的雙變量不等式就變成關于第三個變量的單變量不等式.

例3 (2018 年高考全國Ⅰ卷理科) 已知函數f(x)=?x+alnx,

(1)討論f(x)的單調性;

(2)若f(x) 存在兩個極值點x1,x2,證明:

評析例4 中的x1,x2也不是獨立的,它們由等式關系f(x1)=f(x2)約束,但是并不能像例3 那樣能化簡成一個簡潔的等式關系,于是我們考慮將待證的不等式轉化,向條件靠攏,也就是說要想辦法給x1,x2套上“f”,然后將f(x2)整體換成f(x1),于是得到關于x1的單變量不等式,這種換元方式常用于極值點偏移問題及其衍生問題中.

例5 (2021 年廣州市一模) 已知函數f(x)=xlnx?ax2+x(a ∈R),

(1)證明: 曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線l 恒過頂點;

策略三: 放縮策略

例6 (2015 年高考天津卷)已知函數f(x)=nx?xn,x ∈R,其中n ∈N?,n≥2,

(1)討論f(x)的單調性;

(2)設曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為y=g(x),求證: 對任意的正實數x,都有f(x)≤g(x);

(3)若關于x的方程f(x)=a,a ∈R 有兩個正實根x1,x2,求證:|x1?x2|<+2.

解答(1)f′(x)=n?nxn?1,①若n為奇數,令f′(x)=0 可得x=1 或x=?1,當x ∈(?∞,?1),(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,當x ∈(?1,1)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增; ②若n為偶數,令f′(x)=0 可得x=1,當x ∈(?∞,1)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,當x ∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.

例7 (2021 年高考浙江卷)設a,b為正實數,且a >1,函數f(x)=ax?bx+e2(x ∈R).

(1)求函數f(x)的單調區間;

(2)若對任意b >2e2,函數f(x)有兩個不同的零點,求a的取值范圍;

總之,對于獨立的雙變量不等式證明問題,我們可以選擇主元策略來處理,而對于有約束條件的雙變量不等式證明問題,可以選擇換元策略或者放縮策略,換元策略有兩類,第一類是將其中一個變量換成另外一個變量,這種策略常在約束關系比較簡潔,容易作代換時使用,而第二類換元則是引入新的參變量,將約束條件轉化為兩個變量關于參變量的參數方程,然后代入待證的不等式中,特別是對于有不等關系約束時,這種換元策略較為有效.而當換元策略無法奏效時或者換元后得到的單變量不等式形式比較復雜,難以下手時,都可以考慮放縮策略,放縮是比較難掌握的一種策略,需要把握好放縮的方向和放縮的尺度,常見的放縮由切線放縮、割線放縮、曲線放縮、取點放縮、均值或柯西不等式放縮等等.