一道2021 年全國高中數學聯賽試題的探究與變式

中國人民大學附屬中學豐臺學校(100074) 王寵

北京市第十二中學(100071) 劉剛

1.試題與解答

題目(2021 年全國高中數學聯賽一試A1 卷第11 題)如圖1 所示,在平面直角坐標系中,橢圓Γ:+y2=1的左、右焦點分別為F1,F2,設P是第一象限內Γ 上一點,PF1,PF2的延長線分別交Γ 于點Q1,Q2.設r1,r2分別為?PF1Q2,?PF2Q1的內切圓半徑.求r1?r2的最大值.

圖1

試題考查了橢圓的定義、標準方程、幾何性質、直線與橢圓的位置關系以及最值問題,考查了邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養,檢驗了學生分析問題與解決問題的能力.試題構思巧妙,解法多樣,體現了在知識交匯處命題的特點.

解法1設P(x0,y0),Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),由條件知F1(?1,0),F2(1,0)且x0,y0>0,y1<0,y2<0.由橢圓定義得

點評解法2 先借助橢圓的參數方程表示出點P,Q1,Q2的坐標,然后得到r1?r2,接下來利用向量共線定理、三角恒等變換等知識建立參數間的等式關系,最后利用均值不等式求得最值,體現了參數法和三角函數相關知識的應用,有利于培養學生的創新性.

2.推廣探究

將試題一般化,得到:

3.變式

圖2

圖3