基于分數導數理論的橫觀各向同性飽和黏彈性地基中大直徑嵌巖樁的豎向振動

李興毓,陳曦菲

(1. 安徽省交通控股集團有限公司,安徽 合肥 230088; 2. 長沙理工大學 交通運輸工程學院,湖南 長沙 410114)

0 引言

獲得單、群樁振動特性以及飽和土-樁-上部結構體系動力響應的關鍵是研究飽和土-樁動力相互作用問題,這對飽和土中樁基的抗震、減振設計及完整性檢測至關重要。近年來,越來越多的國內外學者對這一問題給予了廣泛關注,已成為學術界和工程界的研究熱點。回顧飽和土-樁動力相互作用的研究和發展歷史,可以發現:現有的各向同性飽和土-樁基動力相互作用理論研究已經相當廣泛和深入,所采用的模型和考慮的各種參數也很全面[1-12]。而相比之下,由于各向異性飽和土動力控制方程組較為復雜,數學處理上難度較大,而薄弱部分就體現在關于土骨架各向異性對樁基振動特性的影響研究。研究表明[13]:在實際工程中,由于自然沉降或固結,天然地基的扁平類介質顆粒表現出明顯的排列方向,因此土體的水平和豎向性質往往存在較大差異,然而采用橫觀各向同性物理方程更能反映土骨架的實際力學特性。研究和準確反映對樁基動靜態特性的影響,對于進一步提高樁基振動理論的實用價值具有重要意義。毫無疑問,考慮土骨架的橫觀各向同性,研究飽和地基與樁基的動力相互作用,在理論上和工程實踐中都具有重要意義。

目前,基于現象學方法的Biot理論和基于混合理論的Boer多孔介質模型組成了描述飽和土宏觀力學行為的主要理論。雖然Biot理論已成功應用于許多工程領域,但EDELMAN等[14]和BOER等[15-16]通過對比分析指出:Biot理論本質上是一種工程描述方法,并認為Biot動態控制方程中的質量平衡方程和動量平衡方程存在一定的局限性和不足。而Boer多孔介質模型相較于Biot理論其推導更為嚴格,且其基于連續介質混合物公理和體積分數概念,滿足質量守恒定律與熱動力學定律等物理公理[6,15-17]。如今,Boer多孔介質模型已發展到一個相對較高的水平,其在數學邏輯和物理本質上具有較好的一致性,可以滿足理論的嚴密性和工程實踐的各種要求[6]。

綜上所述,本文將基于Boer建立的飽和多孔介質質量平衡方程和動量平衡方程,分別采用橫觀各向同性物理方程描述土骨架的實際力學特性,分數導數黏彈性本構方程描述土體的黏性,首先推導得到橫觀各向同性飽和黏彈性土體動力控制方程組,其形式為u-p形式。然后使用分離變量法求解該方程組得到樁側土反力基本解,繼而將樁基視為Rayleigh-Love桿處理的同時基于所得土反力建立橫觀各向同性飽和黏彈性土體中大直徑黏彈性樁的豎向振動方程,繼而求解該方程并結合樁土相容條件及邊界條件推導得到樁頂豎向動力阻抗解析表達式,進而通過Fourier逆變換得到激振荷載為半正弦脈沖時的樁頂時域速度半解析解。最后在此基礎上比較分析了土骨架的數值算例中黏性性質以及橫觀各向同性對樁基振動特性的影響。

1 數學模型

1.1 基于Boer多孔介質模型的橫觀各向同性飽和黏彈性土體動力控制方程組

圖1 橫觀各向同性飽和土大直徑樁基的動力相互作用模型Fig. 1 Dynamic interaction model for a large-diameter pile in the transverse-isotropic saturated soil

1)土體表面為自由邊界,無正應力和剪應力,表面具有滲透性,土和樁底部由剛性基巖支承。

2) 樁周圍的土骨架是一種充滿理想液體的橫觀各向同性飽和黏彈性材料。

3) 樁基為等截面黏彈性圓柱樁。

4) 樁土系統存在有小變形振動,在振動過程中二者保持密切接觸,即接觸面處樁土的位移和應力是連續的。

基于BOER等[15-16]建立的多孔介質模型,飽和土體的動量平衡方程和反映體積分數概念的質量平衡方程可表示為:

(1)

(2)

div(nSX′S+nLX′L)=0

(3)

(4)

式中:p為孔隙液相壓力,Sv為表示土骨架和孔隙液體之間的耦合作用的液固耦合系數,含下標“E”的部分表示有效應力。此外,有:

式中:γLR為孔隙液體的真實比重,kL為土體Darcy滲透系數,u、v和w分別代表土體的徑向(r)、環向(θ)和豎向(z)的位移分量。字母S、P和L分別表示土骨架、樁和孔隙流體。

根據圖1所示樁土體系的受力和幾何條件可知:樁土體系符合軸對稱條件。對于土體的黏彈性,目前已有很多描述模型,比如粘滯阻尼模型和分數導數模型等。而根據已有研究可知[6,13,18]:分數導數粘彈性模型具有精確度高,確定模型所需的試驗參數少,應用范圍廣的優點。為此,本文采用分數導數粘彈性本構描述土骨架應力應變關系,具體可表示為:

(5)

(6)

土骨架幾何方程為:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

1.2 樁側土反力基本解求解

由于直接求解式(8)-式(12)有很大的難度,并且無法得到問題的解析解。而YU等[5]、劉林超[6]、CAI等[22-23]、NOGAMI等[20]和NOVAK[21]已通過且研究結果表明:土體的徑向位移對樁-土體系的豎向振動影響不大。有鑒于此,本文忽略土的徑向位移的影響,而只考慮土體的豎向波動效應,即令uS=uL=0,可將式(8)-式(12)進一步簡化為:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

將上述無量綱量代入式(16)-式(18)中可得到:

(19)

(20)

(21)

樁-土系統滿足以下無量綱邊界條件:

在無窮遠處,位移衰減為零,即:

(22)

在土體表面處正應力為零,即:

(23)

地基土底面為剛性基巖支承,即:

(24)

在樁土接觸面處位移連續,即:

(25)

聯立式(19)和式(20)可得:

(26)

由式(21)可得:

(27)

(28)

(29)

求解式(29)可得:

(30)

即:

(31)

將其代入式(5)、式(7)、式(22)和式(23)中可推得B=0,C+D=0,D=-C,AC=A1。

故

(32)

在求解式(32)并考慮無限遠邊界條件式(22)后,可以得到:

(33)

將式(33)代入邊界條件式(24)中可得:

(34)

(35)

則由式(5)和式(7)可得:

(36)

1.3 樁頂動力阻抗及速度時域響應求解

基于圖1所示的動力相互作用模型,將樁基礎視為Rayleigh-Love桿[24],通過將上述樁側土反力基本解結合起來,從而建立橫觀各向同性飽和黏彈性土中大直徑黏彈性樁基的振動控制方程,如下所示:

(37)

樁基內力為:

(38)

將式(38)無量綱化為:

(39)

將樁基方程式(37)無量綱化為:

(40)

式(40)的齊次方程通解為:

(41)

式(40)的特解可設為:

(42)

將其代入樁基振動方程式(40)中,可以得出:

(43)

則樁基振動方程式(40)的解為:

(44)

將式(35)和式(44)代入樁土體系的連續性條件式(25)中可得:

(45)

(46)

An=X1na1+X2na2

(47)

則:

(48)

樁基滿足如下無量綱邊界條件:

(49)

(50)

將式(48)代入式(49)和式(50)中可推得:

(51)

定義樁頂動力阻抗為:

(52)

將其無量綱化為:

(53)

樁頂速度頻域響應為:

(54)

圖2 脈沖作用力Fig. 2 Pulse force

(55)

將其無量綱化為:

(56)

2 數值算例分析

圖3 本文退化解與劉林超[6]解對比情況Fig. 3 Present reduced solution versus Liu's results[6]

2.1 解的驗證與比較

另一方面,利用ADINA軟件建立樁-土體系的軸對稱有限元模型,如圖4所示。圖5為本解與有限元法計算樁身位移和樁頂速度的結果對比。在該有限元模型中,采用多孔材料的9節點矩形單元模擬土體;將模型左側設為軸對稱邊界,土體表面設為自由邊界,底部設為不透水固定邊界,右側設為零孔壓固定邊界,模擬無限遠邊界條件,與圖1中規定的邊界條件保持一致。需要注意的是:取模型寬度50 m足以得到本例的穩態響應振幅,已經能夠消除右側的邊界效應。從圖3-5的對比可以看出:本文提出的解與已有研究研究和有限元計算結果吻合良好,驗證了本文的正確性。

圖4 基于ADINA的樁-土系統軸對稱有限元模型Fig. 4 Axisymmetric finite element model with ADINA for the pile-soil system

圖5 飽和土-樁相互作用系統有限元分析結果與本文解的比較Fig. 5 Comparisons of the present results with FEM (ADINA) results for the interaction system of saturated soil and pile

2.2 樁基振動特性參數化分析

樁頂的動力特性受土體橫觀各向同性特性的影響如圖6所示。從圖中可見:樁頂動力阻抗曲線的共振頻率基本上不受土體各向異性影響,而對其樁頂速度響應以及共振峰值則有顯著影響。隨著表示土體的橫觀各向同性特性差異的參數δ的增加(意味著d66更大),樁頂動剛度和阻尼的共振峰值均隨之顯著減小。此外,樁頂速度響應的反射波幅值亦隨之顯著減小,當δ較大時,相應的多次反射波信號已經消失。顯然,這不利于樁基的檢測工作。

圖6 土體各向異性對樁頂阻抗和速度響應的影響Fig. 6 Influence of the soil's anisotropy on the pile top's impedance and velocity

圖7 樁頂阻抗和速度響應隨不同土體粘滯特性的變化情況Fig. 7 Pile top’s impedance and velocity with different soil viscosity

分數導數的階數對樁頂動力特性的影響如圖8所示。從圖中可以看出:隨著分數導數模型階數α的增加,樁頂動力阻抗的共振頻率隨之略有增加,相應的共振幅值隨之大幅增加,特別是在高頻階段猶為顯著。另外,樁頂時域速度曲線的反射波信號幅值亦隨之明顯增大,然從整體來看:其變化幅度相對較小。

圖8 樁頂阻抗和速度響應隨不同分數階導數的變化情況Fig. 8 Pile top’s impedance and velocity with different fractional derivative orders

土體滲透系數對樁-土系統動力特性的影響如圖9所示。從圖中可以看出:隨著土體滲透系數的減小,樁-土系統的動力阻抗和反射信號強度逐漸減小,最終不再發生變化。這是因為與單相土相比,飽和土是一個耗散體系,其耗散能力相當于阻尼系數,隨著土體滲透性的降低而增大。當滲透系數很小時,土體不排水,不再隨滲透系數的變化而變化。

圖9 土體滲透系數對樁-土系統動力特性的影響Fig. 9 Effects of the soil permeability on the dynamic characteristic of the pile-soil system

3 結論

本文基于Boer建立的飽和多孔介質質量平衡方程和動量平衡方程,考慮土骨架的橫觀各向同性和黏性特性,首先推導得到橫觀各向同性飽和黏彈性土體動力控制方程組,其形式為u-p形式,然后采用分離變量法求解該方程組得到樁側土反力基本解,根據所得樁側土反力,同時將樁基視為Rayleigh-Love桿處理建立了大直徑黏彈性樁基在土中的豎向振動方程,然后結合樁土協調條件和邊界條件求解振動方程,推導出樁頂豎向動力阻抗的解析表達式,最后通過Fourier逆變換得到了激振荷載為半正弦脈沖時樁頂速度的時域半解析解。在解退化后,通過與現有研究的比較,驗證了本文建立的模型的正確性。基于此,通過數值算例比較分析了土體黏性參數、土體橫觀各向同性參數和分數導數階數對樁基振動特性的影響,得出了一些有意義的結論。計算分析表明:

1) 通過將本文所建立模型的退化結果和已有研究的對比分析驗證了本文推導的合理性。各向同性土解可視為本文解的特殊情況。顯然,對于一些尚未建立模型的相關實際情況,通過適當變化參數,可方便地利用本文解來進行退化分析。

3) 隨著土體滲透系數的減小,樁頂動力阻抗和速度響應隨之減小。當土體滲透系數很小時,在動荷載作用下土體將產生不排水現象,此時滲透系數對樁基振動特性的影響可忽略不計。