例談促進高中生深度學習的數學教學策略

【摘要】本文基于課程標準中有關學科核心素養的論述，探索深度學習與培養學生數學學科核心素養的關聯，結合教學實例論述在高中數學教學中促進學生深度學習的策略，提出解決實際問題、設置挑戰性任務、用好數學史實以及展現數學之美等教學建議。

【關鍵詞】深度學習 核心素養 高中數學

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）17-0063-04

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）明確了高中數學教學的基本理念，指出高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。數學學科核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。深度學習是指在教師的引導下，學生圍繞有意義的學習主題，全身心投入，開展形成深度理解、發展批判思維和培養創新精神的學習。數學深度學習要求學生學會用數學的眼光看待現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界，獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。可見，數學深度學習是數學知識與學生思維的橋梁，是一種指向能力和素養的學習方式，數學深度學習不僅意味著掌握數學知識，還意味著形成數學思維、感悟數學文化、感知數學之美和提高數學應用能力。由于深度學習追求的是學生思維的深度和廣度，所以深度學習有利于學生核心素養的全面發展。本文在數學學科核心素養的視域下以案例形式呈現促進高中生深度學習的教學策略。

一、解決實際問題，注重數學應用

《課程標準》明確指出，數學直接為社會創造價值，推動社會生產力的發展。《課程標準》的課程結構中專門編排了數學建模活動和數學探究活動，強調數學與生活以及與其他學科的聯系，以期提升學生運用數學解決實際問題的能力。然而，當前的數學教學大多比較注重解題教學，忽視數學的應用。根據布魯姆分類理論，淺層學習的認知水平體現在識記和理解層次，是對知識的機械記憶或復制，深度學習的認知水平體現在應用、分析、綜合和評價層次；機械化的解題訓練忽視了數學應用，讓學生缺失深度學習的體驗。因此，教師在日常數學教學中可以以實際問題導入，讓學生認識到數學來源于實際并運用于實際，通過提供一些數學實際應用的案例，幫助學生感悟數學的應用價值，學習如何運用數學，從而進行深度學習。

例如，在數學建模活動中教師提出問題：如何測量一端在高層、另一端在底層控制室內的三根導線（如圖1所示）的電阻？解決該問題的難點在于，使用電阻表測量導線的電阻需要將儀器并聯在電阻兩端，而導線一端在樓底一端在樓頂，顯然這種方式不方便測量。學生自行探究后，教師首先肯定學生的做法，然后引導學生構建三元一次方程組模型來解決這個問題：設這三根導線的電阻分為x、y、z，適當串聯其中的兩根導線，則可在底層或者高層用電阻表測得x+y、y+z、z+x的值，解方程組即得三根導線的電阻。通過建立一個簡單的三元一次方程組就能解決現實中的難題，想必學生經歷這一過程后會嘆服數學應用之妙。

在日常教學中，教師宜選用能反映或解決實際問題的試題，讓學生在真實的問題情境中進行學習。例如，在概率統計的教學中，教師選用以下試題能夠幫助學生體會數學知識的應用，發展數據分析核心素養。

已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物。血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病。下面是兩種化驗方法。

方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止。

方案乙：先任取3只動物，將它們的血液混在一起化驗。若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗。

（Ⅰ）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；

（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數，求ξ的期望。

因為所有學生都曾經歷過新冠病毒采樣檢測，或單檢或混檢，不同的檢測方式效率不同，所以這個問題能夠引起學生的興趣。教學中教師通過引導學生思考：哪種方式能夠更快（即化驗次數少）地找到患病動物？更快地找到患病動物有助于減少成本，而決策錯誤則意味著成本增加。學生解決這個問題的過程有助于他們體會數學的實際應用，即數學有助于我們做出正確的決策，進而提高數學應用意識。

通過體驗數學的實際應用，學生認識到數學的應用價值，逐漸形成用數學知識分析和解決實際問題的意識，增強解決實際問題的能力。因此，在數學建模和數據分析等核心素養視域下，促進學生深度學習應在教學中注重數學的應用，鼓勵學生用數學解決實際問題。

二、布置挑戰性任務，提升思維能力

數學教師應該利用數學自身的魅力，激發學生學習的興趣和熱情，提高學生學習的動力。在高中數學教學中布置挑戰性任務有助于激發學生的探究興趣，激活學生的思維，提高學生的參與度，促進學生深度學習。《課程標準》倡導培養學生發現和提出、分析和解決問題的能力。數學問題的發現和提出、分析和解決都離不開思考，都是對學生思維能力的挑戰。數學思維是數學學科核心素養的核心內容。學生畢業后很容易忘掉具體的數學知識，但是數學的精神、數學的思想等隨時隨地發生作用，使學生受益終生。也就是說，數學不僅是知識，還是一種思考方式、一種理性精神。深度學習發生的前提是學生要面對具有挑戰性的問題，數學深度學習意味著學生學會用數學思想思考和解決問題，形成理性精神。

在課堂上，學生的思維是圍繞教師所提出的數學問題發散的，問題的深度決定學生思維的深度。數學深度學習要求教師向學生提供有挑戰性的學習任務，促進學生思考，提升其思維能力。

數學學習離不開思考。數學深度學習要求促進學生思考，提升學生的思維能力。教師應該營造和諧的思考氛圍，給足學生思考的時間和空間，引導學生在觀察比較、質疑問難、回顧反思中積極地進行數學思考，使學生成為敢于思考、勤于思考、善于思考、熱愛思考的人，提升他們的邏輯推理和直觀想象核心素養。

三、用好數學史實，豐富文化體驗

借鑒數學的發展歷史，在數學教學中滲透數學文化，能夠豐富和拓展學生對數學的整體認識，將對學生的數學學習起到促進作用。高中數學教師在教學中合理融入數學史，有助于學生理解數學概念和定理的來龍去脈，促使學生形成數學思維、掌握數學方法，達成深度學習。數學史既有作為數學科學自身發展歷史的史學內涵，又包含數學科學在自身推進過程中對人類文明所帶來的影響的文化內涵。《課程標準》指出，數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分，特別強調了數學是人類文化的重要組成部分。數學史融入數學教育對增強學生學習數學的動機、改變學生對數學的認識等具有重要作用。

然而，當前多數教師并沒有注意到數學史在數學教學中的價值，缺少在教學中融入數學史的實踐。沒有文化體驗的學習只是停留在表面的學習。數學深度學習需要重視數學史和數學文化，將數學史融入數學教學有助于學生深度學習。

例如，教師在數學探究活動中引入七橋問題供學生探索：在哥尼斯堡（現俄羅斯加里寧格勒），有七座橋將河中兩個島以及島與河岸連接起來，是否可能從這四塊陸地中任一塊出發，恰好通過每座橋一次，再回到起點？

教師引導學生進行數學抽象，將問題抽象為點線問題（如圖2所示），這樣一來，問題就轉化為能否從A點出發不走重復路線回到A點。教師啟發學生理解能夠“一筆畫”的圖形的點及連線數量的關系，幫助學生認識能夠“一筆畫”的封閉圖形中所有的點都是偶點（有偶數條線與之相連的點稱為偶點，起點有出有回，其他點有進有出）；能夠“一筆畫”的非封閉圖形則只有起點和終點，該圖形中的所有點是奇點（有奇數條線與之相連的點稱為奇點，起點只出不回，終點只進不出）。而七橋問題中的封閉圖形的四個點都是奇點，故不可能“一筆畫”，即不可能從這四塊陸地中任一塊出發，恰好通過每座橋一次，再回到起點。七橋問題是引發數學新分支——幾何拓撲學的著名問題之一，將其融入教學不僅有利于學生了解和感受數學文化，也有利于學生體驗數學抽象的重要價值，發展數學抽象核心素養。

又如，教師基于落實核心素養的要求，以數學史和數學文化的視角導入對數這一課題。教師介紹蘇格蘭數學家約翰·納皮爾發明對數的動機和過程，深度激發學生探究的欲望，讓學生在數學抽象的過程中，經歷納皮爾發現對數的思維過程。學生了解對數背后的數學文化，有助于他們深度理解對數的概念，達成數學深度學習，發展數學運算核心素養。

法國偉大的數學家亨利·龐加萊曾說：“如果我們想要預測數學的未來，那么適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。”借助數學史展示知識形成和發展的過程，能夠激發學生的學習興趣，有助于培養學生積極的數學情感態度，使學生汲取數學思想養料，理解數學概念和思想方法的發展過程。在提升學生數學學科核心素養的過程中，數學精神和數學文化是助推劑。在數學教學中用好數學史實，遵循科學性、實用性、趣味性和廣泛性原則，對發揮數學學科的育人功能、落實立德樹人根本任務具有重要意義。

四、展現數學之美，提高審美素養

數學不僅為生產、生活服務，還處處閃耀著美的光輝。數學美包含數學的簡潔、和諧、對稱、統一和奇異。數學美是一種深層次的、本質的美，是一種理性的體驗，但卻常常被忽視。深層感受數學美的兩個重要途徑是：在潛心思考后所獲的靈感與頓悟中感受數學美、在超越自然后所獲的自由與統一中感受數學美。數學深度學習伴隨著學生對數學美的感知和體驗。從數學學習心理的角度看，數學教學要實現深層次目標，就應該遵循感受心理過程的規律，加強學生對數學美的感受或體驗。引導學生發現和欣賞數學之美，可以激發學生的學習興趣，有助于學生深刻理解數學的內容、方法和意義。充分挖掘蘊含在知識發生發展過程中的數學美，精心設計數學美認知活動，能激起學生對美的追求，進而培養數學學科核心素養。著名數學教育家張奠宙指出，數學教學中的美學教育有美觀、美好、美妙和完美四個層次。在數學教學中，教師可以通過展示數學的和諧美激發學生的求知欲、通過探究數學的簡潔美培養學生的數學思想以及通過感知抽象美啟發學生的數學思維等方式，將數學美滲透在數學教學中。

數學美存在于社會生活的方方面面，數學的抽象美是人類智慧的體現。在教學中，通過設計數學美認知活動，可使學生受到美的熏陶，產生觀賞美的愉悅，培養學生的數學學科核心素養。對數學的深度理解必然包含著對數學美的感悟，提升學生的審美素養是數學深度學習的必然要求。教師要在數學教學中展現數學美，利用數學美來陶冶學生的情操，啟發學生的思維，讓學生在美的感知與體驗中獲得深刻的領悟，進而發展數學抽象和直觀想象等核心素養。

學習要有深度，才能實現從“學”到“用”、從“用”到“悟”的轉變，才能使知識內容真正為己所用，進而升華思維、打開格局。數學深度學習意味著在掌握數學知識的同時形成數學思維、感悟數學文化、感知數學之美和提高數學應用能力。數學教師需要樹立終身學習的理念，提高研究意識，不斷鉆研，研究《課程標準》、新教材、新教法和新技術，努力成為研究型教師，在數學教學中注意引導學生運用所學知識解決實際問題，用好數學史實設計教學內容，促進學生用數學思想思考和解決問題，展現數學之美，促進學生深度學習，從而提升學生的數學學科核心素養。

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注：本文系廣西教育科學規劃2021年度課題“基于數學學科核心素養發展下的高中生深度學習策略研究”（2021C735）的研究成果。

作者簡介：關劍鋒（1974— ），高級教師，桂林市學科帶頭人，主要研究方向為基礎教育。

（責編 劉小瑗）