一道基于橢圓第三定義的試題命制探究

范志曄　林永忠　翁建新

在“一核四層四翼”的高考評價體系總體框架下，試題的命制要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性.試題命制必然要關(guān)注試題如何體現(xiàn)對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.為此，筆者在我市一次模考中以基于橢圓第三定義命制了一道解析幾何多選題壓軸題，現(xiàn)成文，旨在與同行共同學(xué)習(xí)交流.

1 試題展示

（多選題） 已知A、B是橢圓E：x2/4+y2=1的左右頂點，過點P（1，0）且斜率不為零的直線與E交于M、N兩點，kAM，kBM，kAN，kBN分別表示直線AM，BM，AN，BN的斜率，則下列結(jié)論中正確的是（）.

A.kMA·yd·kMB=－1/4B. kBM·yd·kBN=－3/4 C.kMA=3kBN D.直線AM與BN的交點的軌跡方程是x=4

2 設(shè)計過程

2.1 命題意圖

本題是以橢圓的第三定義為背景命制的一道多選題，旨在考查直線與圓錐曲線位置中的定值定量、軌跡等問題；本題綜合性較高，旨在考查學(xué)生對圓錐曲線知識的掌握情況，檢測學(xué)生的綜合能力.

2.2命題過程

（1）立意與選材

在圓錐曲線的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)課本有較多的二級結(jié)論，在研究二級結(jié)論的基礎(chǔ)上加以拓展是教學(xué)的重難點，也是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑，基于此，若能在教材原有的題目上進一步延伸拓展，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三、觸類旁通，從而高效學(xué)習(xí).人教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊P108例3和P121探究就是雙曲線的第三定義，故有以此為背景進一步拓展并命制相關(guān)題目的想法.

（2）聯(lián)系與搭架

教材以雙曲線為背景，在命題時進行遷移，拓展出一般化的結(jié)論.但作為一道多項選擇題，若是用一般化結(jié)論進行命題，學(xué)生不好下手，又學(xué)生對橢圓相對熟悉，故以具體的橢圓為背景命制試題.并以橢圓上的動點（不與左右頂點重合）到左右頂點兩項的斜率的積為定值－b2/a2為基調(diào)，進一步拓展命制.

（3）加工與調(diào)整

第一稿：已知A、B是橢圓E：x2/4+y2=1的左右頂點，M、N是異于A、B的兩點，且kBN·kMB=－3/4，則下列選項中是正確的有（ ）.

4 試題評析

本題是在橢圓的第三定義背景下命制的一道多項選題壓軸題，試題設(shè)想考查學(xué)生對直線與圓錐曲線位置中的定量、軌跡等知識的掌握熟練程度；同時也考查學(xué)生在解題過程中根據(jù)題設(shè)條件適時調(diào)整運算方向和運算策略方案的能力，這也是培育學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的有效途徑.當(dāng)然在關(guān)注通性通法的基礎(chǔ)上，作為選擇題也可以從特殊值角度分析來降低難度，如從特殊點M（0，1）入手，結(jié)合對稱性取兩個特殊位置分析便于找到直線AM與BN交點的軌跡方程就是x=4.這符合現(xiàn)行的高考命題目的.本題當(dāng)中若不借助kMA與kBN的關(guān)系求軌跡方程，過程略顯麻煩，實際本題設(shè)置選項C就是為D選項做鋪墊用的.本題的測試具備一般性解決、功能性檢測、特殊性反饋，對后續(xù)的復(fù)習(xí)能夠起到很好的示范作用，可作為一道選擇壓軸題.

5 命題拓展

拓展一：已知A、B是橢圓E：x2/a2+y2/b2=1的左右頂點，過E的右焦點F的直線與E交于M、N兩點，則直線AM、BN交點的軌跡方程是x=a2/c.反之：點P是直線x=a2/c上的一點，直線AP、BP分別與E交于M、N兩點，則MN過定點F.（證明略）

拓展二：已知P是橢圓E：x2/a2+y2/b2=1的定點，M、N是E上的兩動點，若kMP·kNP為定值，則直線MN過定點.（證明略）

基于教材中橢圓的第三定義背景進行試題命制，源于教材又高于教材，符合中國考試評價要求，試題能夠有效檢測學(xué)生對所習(xí)知識的掌握情況，考查數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)達成情況，同時試題命制心路的呈現(xiàn)也能正確引導(dǎo)后續(xù)教學(xué).

參考文獻

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［3］翁建新. 窺一角而知全貌 處一隅而觀全局［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2021，（9）：1-3.