三大策略破解圓錐曲線中一類“非對稱”結構

竺寶林

一個含有若干個元的多項式中，如果任意交換兩個元的位置，多項式不變，這樣的多項式稱為對稱式，如x1 -x2 ，1/x1? + 1/x2 ，x1 2 + x2 2，其它均稱為非對稱式，如x2/x1，λx1+μx2.在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若Δ>0，設它的兩個根分別為x1，x2，則有根與系數關系即韋達定理x1+x2=－b/a，x1x2=c/a，借此我們往往能夠快速處理“對稱結構”，但是對于“非對稱結構”，直接使用韋達定理處理會有一定的困難.在直線與圓錐曲線中，我們聯立方程組，消去x或y，得到一個一元二次方后，也會遇到同樣的困難.本文以一個題談談圓錐曲線中非對稱問題的處理策略.

評注：解決解析幾何問題，除了要應對代數運算，還要學會從幾何圖形中分析其幾何特征，只有將幾何特征分析得非常充分，代數化才能更加簡潔，代數運算的難度才能降低.