數學實驗融入線性代數課堂的教學實踐與反思

王炳濤 盧晶梅 高秀芝

摘要 線性代數在自然科學、工程技術和管理科學等諸多領域有著廣泛應用，非數學專業學生學習該課程的目的是理解課程的基本概念和思想方法，應用其中的理論工具如矩陣、方程組等來表達專業中的實際問題，具體運算和求解可借助科學計算軟件MATLAB實現，無需花費大量時間精力去手動“算數”。文章介紹了將數學實驗融入線性代數課堂的實踐經驗和具體做法，給出兩個運用線性代數理論知識并借助MATLAB軟件求解的數學建模案例，并指出實踐過程中存在的一些問題，提出一些改革建議。

關鍵詞 數學實驗；線性代數；MATLAB；教學改革

中圖分類號：G642文獻標識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.7.016

線性代數是高等院校理工類、經管類各專業開設的一門重要的公共基礎課，在自然科學、工程技術和管理科學等諸多領域有著廣泛應用。由于課程具有高度抽象性和計算繁雜的特點，學生在理解相關概念和性質時倍感吃力，在進行相應計算時出錯率非常高，從而導致學習積極性受到很大影響。并且大多數線性代數教材不像高等數學那樣有豐富的應用實例，加之課時較少，教師在“趕工”式講授基本理論和計算方法后，沒有時間展示線性代數的應用價值和應用廣度，以致學生對數學的應用性存疑。更重要的是，非數學專業學生學習線性代數的目的應該是理解課程的基本概念和思想方法，應用其中的理論工具比如矩陣、方程組等來表達所學專業中的實際問題，而不是花費大量時間精力去筆算行列式、化行最簡形矩陣，這種“算數”能力是中小學階段訓練的重點，大學階段完全可以借助計算機軟件去求解，學生可以利用節約出來的時間去發現新問題、探索新知識。

數學實驗是以問題為載體，以計算機和數學軟件為工具學習數學知識，應用數學方法解決問題的實踐探索活動[1]。大部分高校將數學實驗作為公共選修課單獨開設，受眾面窄，并且開設時間是在學生學完各門數學基礎課之后，學生對相關數學理論已經淡忘，在進行數學實驗時難免顯得“機械化”，教學效果大打折扣，而將數學實驗融入大學數學課堂能大大提升數學實驗的質量，并有利于學生對數學課程理論知識的內化吸收。MATLAB軟件集數值計算、符號計算和圖形可視化三大基本功能于一體，是國際公認的比較理想的數學實驗軟件。在2009年，我國教育部高教司設立了“用MATLAB和建模實踐改造工科線性代數課程”項目，由西安電子科技大學牽頭，19所大學參加，重點解決線性代數與計算機相結合的實踐問題，項目組出版了多套融入MATLAB的線性代數教材，建立了豐富的應用案例庫，為非數學專業的線性代數教學改革提供了寶貴經驗[2]。該項目參與高校大多為211、985院校，項目成果直接推廣到地方應用型本科院校并不合適，并且目前大部分高校線性代數學時減少，一般在40學時左右，因此，研究在少學時的背景下如何將數學實驗融入線性代數課堂成為數學教師義不容辭的責任。

1教學改革實踐經驗

筆者面向應用型本科院校非數學專業學生講授線性代數課程十多年，近兩年嘗試將MATLAB軟件引入線性代數課堂，讓學生從復雜的計算中解放出來，有意識地培養學生的軟件計算能力，同時在課堂上介紹一些利用線性代數工具和MATLAB軟件解決實際問題的數學建模案例，既能體現課程的應用價值，又可調動學生的學習興趣和主動探索的求知欲。下面介紹將數學實驗融入線性代數課堂教學實踐的幾點經驗，希望對從事非數學專業線性代數教學的一線教師有所啟發。

1.1改革教學內容

教學重點應放在基本概念和基本思想方法的講解上，無須花大力氣推導各種定理結論，講授必要的計算方法時一定要降低難度，對于復雜性高、技巧性強的計算題盡量少講或者不講。有些內容在矩陣建模和后續課程中應用較多，需要重點講解，比如矩陣的概念和基本運算，線性方程組的求解，向量組的線性相關性，特征值和特征向量的概念以及相似對角化的原理，一般二次型化標準形的基本方法等。而行列式計算和初等變換化行最簡形雖然在傳統教學中是重點內容，但是其計算非常復雜，教材中給出的例子往往是設計好的相對容易計算的，在實際問題中并非如此，并且這兩種運算對于非數學專業的學生來說筆算意義不大，完全可以借助MATLAB軟件迅速求解，因此在教學中可以弱化這兩種方法的筆算，加強學生的軟件求解能力。

1.2運用MATLAB輔助教學

MATLAB軟件高度集成，操作簡便，在線性代數課堂講授該軟件操作時，由于課時限制只需介紹矩陣基本運算和相關函數命令操作即可，無須展示圖形可視化功能和循環語句編程，下邊簡要介紹MATLAB中矩陣的基本運算和線性代數常用函數命令。

1.3在課堂中插入數學建模案例，并演示MATLAB求解方法

筆者在將MATLAB引入線性代數課堂的實踐中發現，剛開始運用軟件計算相關問題時學生熱情比較高，但隨著課程的深入，學生對軟件的興趣度逐漸降低，學習積極性也在減弱，因此在課時允許的條件下有必要插入一些與課程相關的高階數學實驗，也就是用軟件解決一些難度稍大的數學建模問題，以此來調動學生的興趣，增強學生對課程應用性的認同感。下面給出兩個用MATLAB軟件求解數學建模問題的案例，只建立數學模型并軟件求解，不講具體原理，僅供讀者參考。

2結語與反思

筆者的教學實踐表明，將數學實驗融入線性代數課堂，能夠切實提高學生的學習積極性，培養學生運用計算機解決實際問題的能力，激發學生的求知欲和探索精神，并且可以激勵學生積極參加大學生數學建模競賽，從而提升學生的綜合應用能力和創新能力。同時，筆者的實踐經驗可以推廣到非數學專業的其他數學課程，如高等數學、概率論與數理統計等，教師只需學習與該數學課程相關的MATLAB操作即可。同時，筆者在教學實踐中也發現了一些需要解決或者改進的問題：

①弱化筆算強化機算的教學理念與考研大綱不符，針對有考研意向的同學如何進行“補課”需要學校有關部門研究解決方案；

②如果全程都進行傳統課堂教學，學生無法練習軟件操作會嚴重影響教改成效，有條件的學校應拿出少量課時安排在機房上課，以保證學生學習效果；

③校內參與教學改革的可能只是部分老師，而期末考試的考試大綱和命題通常是統一的，因此如何協調教改班級單獨命題的問題也需解決。

基金項目：2021年山東交通學院本科教學改革研究項目“新工科背景下數學實驗融入大學數學課程教學的實踐研究”（2021XJYB40）；2021年山東省教育教學研究課題“應用型本科高校大學生數學應用創新能力培養路徑與實踐研究”（2021JXY010）。

參考文獻

[1]趙禮峰.數學實驗課程對大學生素質培養的重要作用[J].中國大學教學，2011（12）：42-44.

[2]陳懷琛，高淑萍.論非數學專業線性代數的內容改革[J].高等數學研究，2015（3）：8-11.

[3]劉保東，宿潔，陳建良.數學建模基礎教程[M].北京：高等教育出版社，2015.