測試木材剪切模量的自由方板扭轉模態法

王 正 谷曉雨 周宇昊 張一凡 沈肇雨 黃俁劼

（南京林業大學材料科學與工程學院 南京 210037）

在土木建筑、家具和木材加工行業中，鋸材是木結構建筑、高檔家具制造、室內裝修門窗制造、木地板等產品的必備主材，對其力學性能的檢測和質量評等尤為重要（Wanget al.，2014；Yoshiharaet al.，2009；Zhouet al.，2007）。木材彈性模量動態測試在全球開展得很活躍，技術較成熟，研究成果也較多。剪切模量是木材的重要彈性常數，因木材為正交各向異性材料，木材剪切模量動態測試（Wanget al.，2016；王正等，2017；Wanget al.，2019a；Wanget al.，2018）具有一定難度，在國內外尚不太成熟，深入開展木材剪切模量動態測試很有必要。目前，在自由狀態下測試木材剪切模量的動態方法主要有自由板扭轉振型法（Wanget al.，2019a；程可等，2015）、自由桿件扭轉振動法（JIS A1127—2001）、Timoshenko-Hearmon 梁迭代法和自由方板扭轉振動法（Nakaoet al.，1987）。然而這些方法在動態測試木材剪切模量的根據、適用性和測試精度上存在一定不足，即自由板扭轉振型法僅能滿足木材自由板試件長寬比l/b≥3 的條件要求，受板長寬比要求限制；自由桿件扭轉振動法從測試精度考慮也存在對試件長寬比的限制；Timoshenko-Hearmon 梁迭代法因受試件尺寸限制要求，甚至迭代發散；自由方板扭轉振動法因其推算剪切模量公式采用一個與材料類型和方板寬厚比無關的固定系數 0.9，必然會產生一定誤差，從測試精度考慮，特別不適用于測試木材剪切模量。

靜態測試木材或木基結構板材剪切模量的方法有 ASTM D3044—16 標準法、NPL 法、MNPL 法和Lee’s 法（Yoshiharaet al.，2006；Yoshihara，2009），其共同特點是用足夠薄的方板試件，通過測試施力點撓度推算板材剪切模量，其中ASTM D3044—16 標準法規定的方板寬厚比為 25～40，NPL 法和Lee’s 法認為方板寬厚比應不小于35。本研究提出一種基于自由方板扭轉模態動態測試木材剪切模量的新方法——自由方板扭轉模態法。首先，根據木材自由方板特有的一階扭轉振型特征和能量法，導出木材主向剪切模量與其自由方板一階扭轉頻率之間的關系式；然后，基于自由方板在不同樹種和不同寬厚比時ANSYS 計算的一階扭轉模態頻率，進行仿真和回歸分析，獲得木材主向剪切模量與其自由方板一階扭轉頻率之間的修正關系式（自由方板扭轉模態法關系式）；同時，其測試木材剪切模量的有效性采用自由桿件扭轉振動法（動態）和非對稱四點彎曲法（靜態）進行試驗驗證。本研究最大創新點在于即使降低方板試件的寬厚比要求，仍能保證剪切模量測試精度，研究結果可為建筑工程、家具、室內裝飾、交通、軍事、樂器等行業的工程應用提供可靠支撐。

1 方法

1.1 木材自由方板一階扭轉振型特征

設方板長為l、寬為b、厚為h（l=b），用剛性系數＜1.0 N·cm-1的彈性繩懸掛。取板中心為坐標原點O，x軸沿方板軸線，自順木紋紋理方向或木質復合板縱向，其正向水平向右；z軸鉛直向下為正；y軸沿方板寬度，其正向按右手螺旋規則確定，如圖1 所示。

圖1 方板自由懸掛及其坐標系Fig. 1 Square plate free suspension and its coordinate system

采用ANSYS 19 Solid185 單元模態程序塊計算山毛櫸（Fagus longipetiolata）弦向自由板（長寬比l/b=1和3）的一階扭轉振型，網格劃分沿x和y向40 等分，沿z向 6 等分，即40×40×6 網格劃分。ANSYS 模態程序塊計算時，輸入山毛櫸弦向材料常數（尹思慈，1996）。模態計算設置為最大長度歸一，從模態計算輸出信息中讀取一階扭轉頻率和一階扭轉振型z向位移（無單位）。

根據山毛櫸自由方板（長寬比l/b=1）的一階扭轉振型，讀取x=l/2、y=b/2板邊界上各節點的z向位移，繪制沿板長邊和寬邊的扭轉振型曲線（圖2）。山毛櫸自由方板(l=b)的一階扭轉振型特征為：在板長邊y=b/2上各點，z向位移W（x，b/2）沿x（x/l）軸方向變化近似于一條直線，在板寬邊x=l/2上各點，z向位移W（l/2，y）沿y（y/b）軸方向呈曲線變化，該曲線可用無常數項的y四次多項式擬合。

圖2 山毛櫸自由方板（l/b=1)在其邊界y=b/2 或 x=l/2 上沿x 或y 向的扭轉振型Fig. 2 Torsional vibration mode of Fagus longipetiolata free square plate (l/b=1) along x-direction or y-directiony-direction on its boundary y=b/2 or x=l/2

對于長寬比不小于3 的自由方板，如圖3 中l/b=3的山毛櫸自由板，經ANSYS 計算，一階扭轉振型特征不同于自由方板：在板長邊y=b/2上各點，z向位移W（x，b/2）沿x（x/l）軸方向呈曲線變化，該曲線可用無常數項的x四次多項式擬合；在板邊界x=l/2上各點，z向位移W（l/2，y）沿y（y/b）軸方向變化近似于一條直線。

圖3 山毛櫸自由板（l/b=3)在其邊界y=b/2 或 x=l/2 上沿x 或y向的扭轉振型Fig. 3 Torsional mode mode of Fagus longipetiolata free square plate (l/b=3) along x-direction or y-directiony-direction on its boundary y=b/2 or x=l/2

圖4 LT、LR、RT 主向面方板（l=b）的主向L、T、R 與x、y、z 對應示意Fig. 4 Corresponding relationship between L, T, R and x, y, z in LT, LR, RT main face plate (l=b)

經ANSYS 計算，對于西加云杉（Picea sitchensis）、歐洲赤松（Pinus sylvestris）和北美黃杉（Pseudotsuga menziesii）等自由方板的一階扭轉振型特征，即沿板長邊扭轉振型z向位移直線變化，沿板寬邊扭轉振型z向位移曲線變化均與山毛櫸自由方板相同。

對于l=2b的自由方板，其一階扭轉振型沿板長邊和寬邊的變化規律既不同于l=b的自由方板，也不同于l/b≥3 的自由方板，而是沿板長邊和寬邊呈重合曲線變化，因此木材自由方板一階扭轉振型特征按其長寬比可分為3 種：l/b=1、l/b=2 和l/b≥3 的自由方板。采用自由方板為試件測試木材剪切模量時，需從自由方板特有的一階扭轉振型特征出發，建立其一階扭轉振型函數。本研究建立的自由方板（l=b）一階扭轉振型函數，與Wang 等（2019a）自由方板長寬比l/b不小于3 的一階扭轉振型函數截然不同（圖2、3），盡管其均應用能量法和優化原理。

1.2 木材剪切模量與其自由方板一階扭轉頻率的關系式

設自由方板（l=b）的一階扭轉振動為：

式中：W(x,y)為自由方板一階扭轉振動的振型函數；ω為自由方板一階扭轉固有圓頻率。

根據自由方板一階扭轉振型W（x，y）在方板y=b/2 邊界上（沿x向）呈直線變化、在x=l/2 邊界上（沿y向）呈曲線變化的特征（圖2）以及一階扭轉振型節線位置（x=0，y=0），可將其設為：

式中：k由x=l/2、y=b/2的z向位移等于W(l/2,b/2)確定；系數A、B、C、D滿足的方程組通過如下目標函數L取最小值確定：

自由方板繞y軸的轉角為：

因自由方板一階扭轉振型相對于板中間截面(y=0)為反對稱，故計算其動能和應變能可按1/2 方板（0≤y≤b/2, -l/2 ≤x≤l/2）進行。

式中： ρ為材料密度；ft為自由方板一階扭轉頻率，Hz。

應變能U：

則

或寫成

式中：G為剪切模量，Pa；l為方板沿木紋紋理方向的長度，m；b為方板垂直于木紋紋理方向的長度，m；h為方板厚度，m； ρ為氣干密度，kg·m-3；ft為方板一階扭轉頻率，Hz； γ為木材自由方板振型系數，其值取決于與方板動能（IT）和應變能（I?）相關的2 個定積分計算值；為方板矩形截面因子。

1.3 木材自由方板振型系數計算

根據振型系數 γ的定義，基于木材主向材料常數的數值特征，選擇西加云杉、山毛櫸、歐洲赤松和北美黃杉等樹種的自由方板，先應用ANSYS 19 Solid185 單元模態程序塊對方板進行40×40×6 網格劃分，計算其一階扭轉振型，后將在板寬邊x=l/2 上的扭轉振型分量Wi代入由優化原理決定的A、B、C、D的線性方程組中，求解方程組確定系數A、B、C、D，進而計算IT、Iφ積分值。

ANSYS 19 Solid 185 單元模態程序塊輸入參數如表1 所示。

表1 西加云杉、山毛櫸、歐洲赤松和北美黃杉等樹種ANSYS 模態程序塊計算的輸入參數（尹思慈，1996）①Tab. 1 Input parameters of ANSYS modal block calculation of Picea sitchensis, Fagus longipetiolata, Pinus sylvestris and Pseudotsuga menziesii

計算振型系數時，取云杉、山毛櫸、歐洲赤松和北美黃杉 4 種樹種，每樹種 3 個主向面（LT、LR、RT），自由方板寬厚比取 7、10、15、20、25 和30 共6 種，總計72 種計算方案。

對自由方板在1 種寬厚比下計算的 12 個振型系數，按主向將4 種樹種振型系數取平均值作為該主向在該寬厚比下的木材振型系數，該寬厚比下的振型系數個數按主向為3，6 種寬厚比的振型系數為 18 個，如表2 所示。

表2 自由方板在不同寬厚比時計算的木材主向振型系數Tab. 2 Main-direction mode shape coefficient of timber free square plate at the different width-thickness ratio

由表2 可知，木材弦向自由方板振型系數均值為7.671 5，變異系數為0.77%；木材徑向自由方板振型系數均值為7.698 0，變異系數為1.01%；木材橫向自由方板振型系數均值為8.524 1，變異系數為0.51%。

根據式（1），木材弦向剪切模量與其自由方板一階扭轉頻率的關系式為：

木材徑向剪切模量與其自由方板一階扭轉頻率的關系式為：

木材橫向剪切模量與其自由方板一階扭轉頻率的關系式為：

式中：GLT、GLR和GRT分別為木材弦向、徑向和橫向剪切模量；ft為自由方板一階扭轉模態頻率。

雖然ANSYS 模態程序塊輸出自由方板一階扭轉振型z向位移的同時還輸出其一階扭轉模態頻率，但在推導式（1）和與式（2）～（4）相關的振型系數計算中并未用到模態頻率。從完備性考慮，還需驗證將輸出的一階扭轉模態頻率計算值代入式（2）～（4）中計算的G（稱為剪切模量仿真值）是否等于相應的主向剪切模量輸入值，即主向剪切模量參考值。

1.4 式（2）～（4）的適用范圍及其修正

驗證剪切模量仿真值Gs是否等于相應的主向剪切模量參考值Gr，應從試驗和仿真2 方面進行。用于仿真驗證的樹種，除上述云杉、山毛櫸、歐洲赤松和北美黃杉4 種樹種外，還增加白臘木（Fraxinus chinensis）、桃花心木（Swietenia mahagoni）和輕木（Ochroma lagopus）3 種樹種。對7 種樹種應用ANSYS 19 Solid 185 單元進行40×40×6 網格劃分，計算長 140 mm、寬 140 mm，寬厚比 7、10、15、20、25 和30 的自由方板一階扭轉模態頻率；將其代入式（2）、（3）、（4）中，得到各自主向剪切模量仿真值Gs。同時計算出寬厚比7、10、15、20、25 和30 各樹種主向Gs與Gr比值，取各樹種Gs/Gr均值作為木材主向在該寬厚比下的Gs/Gr。木材主向Gs/Gr隨方板厚寬比的變化規律如圖5所示。

圖5 木材Gs/Gr 隨方板厚寬比的變化規律Fig. 5 Variation of the Gs/Gr value of wood with the thickness-towidth ratio of the square plate

由圖5 可知，Gs隨方板寬厚比的變化規律為：1） 對于木材弦向和徑向，Gs隨方板寬厚比增加而上升，逼近于Gr，且弦向和徑向Gs與其參考值Gr的相對誤差小于5%的方板寬厚比，分別可取17 和20；2） 對于木材橫（切）向，Gs隨其方板寬厚比變化平穩，且寬厚比在7～30 范圍內，橫（切）向Gs與其參考值Gr的相對誤差均小于5%（約2%）。

對于Gs與Gr的相對誤差不超過5%而言，本研究明確：式（2）適用于寬厚比不小于17 的自由方板測試木材弦向剪切模量；式（3）適用于寬厚比不小于20的自由方板測試木材徑向剪切模量；式（4）適用于寬厚比 7～30 的自由方板測試木材橫向剪切模量。因此，為保證式（2）、（3）測試木材剪切模量精度，要求木材弦向和徑向的自由方板寬厚比分別不小于 17 和 20作為試件，然而這對于木材方板試件而言太苛刻。為了放寬這一要求，需對式（2）、（3）進行修正。

將Gs/Gr對方板厚寬比h/b進行回歸分析，可得到相應的木材弦向因子kLT、徑向因子kLR和橫（切）向因子kRT依賴于方板厚寬比h/b的表達式。

木材主向剪切模量與其自由方板一階扭轉頻率的關系式可修正為：

弦向

徑向

橫（切）向

式（5）、（6）和（7）適用于寬厚比7～30 的自由方板測試木材主向剪切模量，將其稱為式（2）、（3）和（4）的修正關系式（即測試木材剪切模量的自由方板扭轉模態法關系式）。由自由方板寬厚比適用范圍為7～30的修正關系式仿真計算可知，其正確性還需從試驗方面加以驗證。

2 試驗

2.1 材質與試件

樹種：紅雪松（Thuja plicata），弦向；鐵杉（Tsuga chinensis），弦向；落葉松（Larix gmelinii），弦向和徑向；西加云杉（Picea sitchenrsis），徑向和橫向；膠合板（plywood）；定向刨花板（OSB）。

試件：方板試件、非對稱四點彎曲試件和桿件試件，其參數和數量如表3、4 所示。

表3 方板試件和非對稱四點彎曲試件基本參數Tab. 3 Basic parameters of square plate specimens and asymmetric four-point bending specimens

表4 自由桿件扭轉振動法試件的基本參數（用于驗證性試驗）Tab. 4 Basic parameters of free-rod torsional vibration method (verification test)

2.2 試驗設計

選擇鐵杉（弦向）、紅雪松（弦向）、落葉松（弦向和徑向）、西加云杉（徑向和橫向）制作方板試件，其寬厚比為9.2～16.1；選擇膠合板（7 層）和OSB 木質復合板材制作方板試件，其寬厚比分別為26.7 和11.0（表3）。相應地制作適用于自由桿件扭轉振動法和非對稱四點彎曲梁法測試木材主向剪切模量的試件（表3、4）。用彈性繩以十字方式懸掛試件，實現其自由方板。對每種材質的自由方板試件，先測試其頻譜，從頻譜上讀出自由方板一階扭轉頻率；再采用自由方板扭轉模態法關系式推算剪切模量。

對落葉弦向和徑向試件，在其主向面中心處粘貼±45°方向應變片，采用全橋接法測試其主向面中心處剪應變，應用靜態非對稱四點彎曲梁法測試其剪切模量（Yoshiharaet al.，2006），以檢驗自由方板扭轉模態法測試剪切模量的有效性；對鐵杉弦向、紅雪松弦向、西加云杉徑向和橫向試件，應用自由桿件扭轉振動法測試其剪切模量（動態），以檢驗自由方板扭轉模態法測試剪切模量的有效性。

2.3 試驗儀器與設備

南京安正軟件公司動態信號采集與分析系統1 套，包含信號調理儀、采集箱、計算機、譜分析和模態分析軟件；KD6005 型八通道動態電阻應變計1 臺；四點彎曲加載試驗臺 1 套；BX120-5AA 型電阻應變片（靈敏系數2.08）；CA-YD-125 型壓電式加速度計，聲級計；其他儀器及其配套件：HK-30 木材含水率測試儀1 只、TG328B 電光分析天平（0.001 g）1 臺、游標卡尺（0～150 mm）1 把、尼龍頭小錘 1 把，0.425 、0.85、1.275、2.55 kg 規格砝碼各3 只。

2.4 自由方板一階扭轉頻率識別

從自由方板頻譜圖上正確識別出一階扭轉頻率是準確測試木材剪切模量的關鍵。對于木材自由方板，通常在頻譜圖上出現的前二階頻率是一階橫向彎曲頻率或一階扭轉頻率，這就存在如何從2 個頻率中正確識別出自由方板一階扭轉頻率的問題。

真正識別自由方板一階扭轉頻率需作模態試驗。圖6 所示為鐵杉135 mm×135 mm×13 mm 自由方板模態試驗的橫向第一階彎曲振型和第一階扭轉振型。由圖可知，頻譜第一高峰對應的頻率為鐵杉自由方板的橫向一階彎曲頻率，第二高峰對應的頻率為鐵杉自由方板的一階扭轉頻率。由于頻譜上出現的前2 個高峰對木材自由方板而言必定是橫向一階彎曲頻率和一階扭轉頻率，故可根據自由方板橫向一階彎曲振型和一階扭轉振型的節線位置特征提出一種簡易識別方法，即敲擊自由方板中心，高峰下跌頻率即橫向一階扭轉頻率，另一頻率即橫向一階彎曲頻率。自由方板橫向一階彎曲頻率和一階扭轉頻率在頻譜上出現的前后順序與木材主向面和方板寬厚比有關，如云杉弦向自由方板，當其寬厚比為10 時，先橫向一階彎曲，后一階扭轉，其徑向自由方板，先一階扭轉，后橫向一階彎曲；當云杉自由方板寬厚比為7 時，弦向和徑向自由方板頻譜皆為前一高峰對應扭轉頻率，后一高峰對應橫向彎曲頻率。無論是哪種情況，可用上述簡易識別方法從自由方板頻譜前2 個高峰頻率中識別出橫向一階彎曲頻率和一階扭轉頻率。

圖6 鐵杉135 mm×135 mm×13 mm 自由方板模態試驗的橫向一階彎曲和一階扭轉振型（x 軸取順木紋方向）Fig. 6 The transverse first-order bending and first-order torsional mode shapes of Tsuga chinensis 135 mm×135 mm×13 mm free square plate modal test (x-axis is taken along the direction of wood grain)

從圖6 自由方板模態試驗的一階扭轉振型可知，其板邊y=b/2 的z向位移沿x方向呈直線變化，x=l/2的z向位移沿y方向呈曲線變化，與圖2 計算模態的一階扭轉振型變化規律一致。

2.5 木材自由方板一階扭轉頻率測試

為得到自由方板較為精確的一階扭轉頻率測試值，自身質量小、測試傳感器選用及其安裝位置尤為重要，本研究推薦聲級計或質量不大于1.5 g 的加速度計作為測試自由方板頻譜傳感器。根據試驗摸索，自由方板一階扭轉頻率的傳感器最佳位置為：若使用聲級計，將聲級頭置于下板面長邊下方x=l/8 處，且距下板面 2～3 cm，敲擊點位于方板寬邊y=b/8 處；若使用加速度計，將其安裝于上板面長邊x=l/8 處，敲擊點位于方板寬邊y = b/8 處（圖7）。如此測試的自由方板一階扭轉頻率推算出的剪切模量與其他試驗方法測試值相當吻合。

圖7 測試自由方板(l=b)頻譜Fig. 7 Test block diagram for testing the frequency spectrum of a free square plate (l=b)

紅雪松自由方板測試頻譜如圖8 所示。應用上述簡易識別方法，可從頻譜圖上識別出紅雪松弦向自由方板的一階橫向彎曲頻率和一階扭轉頻率。

圖8 紅雪松2 號自由方板(147 mm×147 mm×13.96 mm)頻譜Fig. 8 Thuja plicata No.2 free square board (147 mm×147 mm×13.96 mm) spectrum

3 結果與分析

3.1 自由方板扭轉模態法測試木材剪切模量及其有效性的試驗驗證

自由方板扭轉模態法測試木材弦向、徑向和橫向剪切模量源自于木材自由方板特有的一階扭轉振型特征、能量法原理和一階扭轉模態頻率測試值，該方法除具有可靠的理論基礎外，還考慮方板寬厚比和材質類別對剪切模量測試值的影響。

為驗證自由方板扭轉模態法測試木材剪切模量的有效性，采用自由桿件扭轉振動法、非對稱四點彎曲法進行試驗驗證。首先，驗證弦向kLT因子和徑向kLR因子的有效性，采用155 mm×155 mm×9.60 mm 落葉松弦向自由方板，測試其一階扭轉頻率后，采用式（2）、（5）計算剪切模量測試值；然后，依次鋸切邊長為115、90 和70 mm 的方板，實現其不同寬厚比，并測試其一階扭轉頻率；最后采用式（2）、（5）計算剪切模量測試值（表5，括號中百分數為變異系數）。

表5 落葉松弦向 155、115、 90 和70 mm 自由方板扭轉模態法測試的剪切模量Tab. 5 Shear modulus of Larix gmelinii chordwise 155, 115, 90 and 70 mm free square plate torsional modal method

由表5 可知，落葉松弦向方板寬厚比從7.2 變至16.1 時，應用僅根據自由方板特有一階扭轉振型導出的式（2）測試的弦向剪切模量值從765 MPa 上升為880 MPa，變化幅度為115 MPa（占880 MPa 的13%）；而應用自由方板扭轉模態法式（5），當方板寬厚比從9.3 變至16.1 時，弦向剪切模量基本上為 917 MPa，僅在寬厚比為7.2 時，弦向剪切模量測試值才比917 MPa大27 MPa（占917 MPa 的2.9%）。因此，可以說自由方板扭轉模態法（式5）用于測試木材弦向剪切模量，采用寬厚比不小于7 的方板具有足夠精度。

由表6 可知，落葉松徑向方板寬厚比為10.3 和14.8 時，應用僅根據自由方板特有一階扭轉振型導出的式（3）測試的徑向剪切模量分別為1 232 和1 317 MPa，變化幅度為 85 MPa（占1 317 MPa 的6.5%）；而應用自由方板扭轉模態法式（6）測試的徑向剪切模量分別為1 444 和1 426 MPa，變化幅度僅為18 MPa（僅占1 426 MPa 的1.3%）。因此，可以說自由方板扭轉模態法用于測試木材徑向剪切模量具有足夠精度。

表6 落葉松徑向 118 mm×118 mm 自由方板在寬厚比10.3 和14.8 時測試的剪切模量Tab. 6 Shear modulus of radial Larix gmelinii 118 mm×118 mm free square plate at width-thickness ratios of 10.3 and 14.8

此外，本研究還采用非對稱四點彎曲法（靜態）測試落葉松方板弦向和徑向剪切模量，結果分別為910 MPa（11.6%)和 1 321 MPa（7.6%)，與自由方板扭轉模態法測試結果的相對誤差分別為0.77%和7.9%。因此，自由方板扭轉模態法用于測試木材弦向和徑向剪切模量的有效性得到非對稱四點彎曲法的試驗驗證。

自由方板扭轉模態法（本研究）、自由桿件扭轉振動法測試的鐵杉弦向、紅雪松弦向、西加云杉徑向、西加云杉橫向等主向剪切模量測試結果如表7 所示，表7 列出測試數據為應用自由方板扭轉模態法式（5）、（6）、（7）所得。

表7 自由方板扭轉模態法測試木材主向剪切模量及其試驗驗證Tab. 7 Principal shear modulus of wood measured by free square plate torsional modal method and its experimental verification

由表7 可知，采用自由方板扭轉模態法測試鐵杉、紅雪松和西加云杉剪切模量，相較于自由桿件扭轉振動法測試剪切模量的相對誤差在-5.2%～7.7%范圍內，自由方板扭轉模態法測試木材剪切模量的有效性得到自由桿件扭轉振動法的試驗驗證。

3.2 自由方板扭轉模態法用于測試木質復合材料剪切模量的可行性分析

對于各向同性材料，程可等（2015）給出測試剪切模量的振型系數為：

該振型系數依賴于自由板長寬比，適用于長寬比1～8 的自由板。

需要指出的是，程可等（2015）給出的振型系數適用于方板（l/b=1）的有效性未進行試驗檢驗。為此，本研究用 80 mm×80.2 mm×3.45 mm、密度 7 771 kg·m-3和200 mm×199.8 mm×4.48 mm、密度 7 771 kg·m-3的低碳鋼自由方板（各3 塊），根據式（8）給出的振型系數測試剪切模量，其結果分別為 81.3 GPa（2.6%）和79.3 GPa（1.3%）。剪切模量測試值皆落在低碳鋼剪切模量規范值79.2～82 GPa 范圍內，因此式（8）給出的自由方板振型系數8.118 9 用于測試低碳鋼剪切模量的有效性得到檢驗。

若將各向同性材料自由板的一階扭轉頻率與剪切模量關系式用于l/b=1 的自由方板，可得：

現將式（9）用于OSB 測試剪切模量的依據說明如下：根據OSB 縱向和橫向自由板在長寬比為1.25、1.5、2、3、4、5、6、8 計算的振型系數擬合式（Wanget al.，2019b），將其外推到板長寬比為1 的振型系數，可分別得到OSB 縱向和橫向自由方板的振型系數分別為8.167 9 和8.058 6，之間相差1.4%，同時考慮這2 個振型系數與各向同性自由方板振型系數(γ=8.118 9)只差±0.7%，故可認為式（9）也適用于OSB自由方板測試其剪切模量。

考慮到方板寬厚比對測試木質復合材剪切模量的影響，取低碳鋼方板長 140 mm、寬 140 mm，寬厚比7、10、15、20、25 和 30，采用ANSYS 計算其一階扭轉頻率。ANSYS 計算輸入的低碳鋼方板材料常數為彈性模量206 GPa、泊松比0.3，密度7 850 kg·m-3。將ANSYS 輸出的一階扭轉模態頻率代入式（10）得到 6種寬厚比下低碳鋼剪切模量仿真值。該仿真值除以低碳鋼剪切模量參考值（取79.2 GPa）對方板厚寬比進行回歸，得到對式（10）的修正因子kS。式（9）的修正公式可表示為：

將式（10）用于測試OSB 和膠合板剪切模量，其測試值與自由桿件扭轉振動法測試的剪切模量相對誤差分別為-0.1%和9.2%，如表8 所示。

表8 OSB、膠合板剪切模量測試值Tab. 8 OSB, plywood shear modulus test values

自由方板扭轉模態法用于測試OSB 和膠合板剪切模量的有效性得到驗證。

需特別說明的是，式（10）用于測試木質復合板材剪切模量要作具體分析。就木質復合板材OSB 和MDF來說，根據前期測試結果，OSB 縱向彈性模量與橫向彈性模量之比為 2.63，而MDF 橫向彈性模量略大于縱向，縱向彈性模量與橫向彈性模量之比約0.96，即式（10）用于測試OSB 和MDF 剪切模量是可行的，但這并不意味著對其他木質復合板材均適用，如LVL 縱向彈性模量與橫向彈性模量之比為21.3，其量級同于木材的EL/ET或EL/ER。因此，考慮到LVL 板材制造由木材旋切膠粘壓制成型，測試其剪切模量時，采用的不是式（10），而是木材弦向的式（5），測試結果表明是正確的。

3.3 自由方板扭轉模態法和自由方板扭轉振動法測試剪切模量結果對比

自由方板扭轉振動法推算各向同性材料和木質膠合板剪切模量的公式（Nakaoet al.，1987）為：

式中：G為剪切模量，Pa；a為方板長，m；b為方板寬，m；h為方板厚，m； ρ為密度，kg·m-3；ft為方板一階扭轉頻率，Hz。其中，方板長a對應于式（5）、（6）、（7）中的方板長l。

自由方板扭轉模態法和自由方板扭轉振動法測試木材和木質復合材料的剪切模量如表9 所示。

表9 自由方板扭轉模態法和自由方板扭轉振動法測試木材和木質復合材的剪切模量Tab. 9 Free-square-plate torsional modal method and freesquare-plate torsional vibration method for the determination of shear modulus of wood and wood composites

由表9 可知，自由方板扭轉振動法測試木材和木質復合材料的剪切模量皆小于自由方板扭轉模態法，其程度與試件寬厚比和材質有關，對于所測4 種樹種木材3 個主向剪切模量測試值小22.2%～37.1%，對于所測膠合板和OSB 剪切模量分別小3.7%和16.8%。分析其原因，自由方板扭轉振動法測試剪切模量時未計入方板寬厚比的影響，也未考慮材料類別，其公式采用統一系數0.9，故從測試精度考慮，自由方板扭轉振動法不適宜測試木材主向剪切模量。

4 討論

如前文所述，自由狀態下測試剪切模量的動態方法主要有自由板扭轉振型法、自由桿件扭轉振動法、Timoshenko-Hearmon 梁迭代法和自由方板扭轉振動法，并對各方法適用的限定條件作了闡述，如自由板扭轉振型法僅能滿足木材自由板試件長寬比l/b≥3的條件要求；自由桿件扭轉振動法從測試精度考慮，也存在對試件長寬比的限制要求；Timoshenko-Hearmon梁迭代法受限于梁尺寸，出現迭代發散，計算不出剪切模量值等問題。

為定量說明上述方法限定條件對剪切模量的影響以及本研究的貢獻，選用LVL 整板沿其縱向下料制作320 mm×100 mm×10.8 mm、 220 mm×100 mm×10.8 mm、100 mm×100 mm×10.8 mm 各3 塊方板，采用自由板扭轉振型法和自由桿件扭轉振動法測試其縱向剪切模量，結果如表10 所示。

表10 自由板扭轉振型法和自由桿件扭轉振動法測試的LVL 縱向剪切模量①Tab. 10 LVL longitudinal shear modulus tested by free plate torsional vibration method and free rod torsional vibration method

對于100 mm×100 mm×10.8 mm 各3 塊方板，采用自由方板扭轉模態法（本研究）、自由方板扭轉振動法和方板靜態扭轉應變法測試縱向剪切模量分別為 865 MPa（1.4%）、659 MPa（1.4%）和 860 MPa（1.0%）。

從以上數據可以定量得到：

1） 隨試件長寬比減少，自由方板扭轉振型法和自由桿件扭轉振動法測試的LVL 縱向剪切模量減小，特別對方板試件的測試值顯著減小；

2） 傳統自由方板扭轉振動法測試的LVL 縱向剪切模量分別小于自由板扭轉振型法、自由桿件扭轉振動法和自由方板扭轉模態法12.9%、17.0%和23.8%，即從測試精度考慮，傳統自由方板扭轉振動法不可用于測試木材剪切模量；

3） 自由方板扭轉模態法測試的LVL 縱向剪切模量與方板靜態扭轉應變法測試值相當吻合，相對誤差僅 0.6%；而自由板扭轉振型法和自由桿件扭轉振動法，若以方板為試件測試的LVL 縱向剪切模量與方板靜態扭轉應變法測試值的相對誤差分別為-12.0%和-7.7%。

自由方板扭轉模態法基于自由方板特有的一階扭轉振型特征和一階扭轉模態頻率，不僅理論基礎可靠，而且具有測試剪切模量精度高、試驗操作方便等優點，是一種測試木材剪切模量值得推薦的好方法。

5 結論

1） 木材自由板一階扭轉振型特征與其長寬比l/b有關。對于l/b=1 的木材自由方板，其一階扭轉振型特征為：在其長邊y=b/2上呈直線變化，在其寬邊x=l/2上呈曲線變化，可用y的無常數項四次多項式擬合；對于長寬比l/b≥3 的木材自由板，其一階扭轉振型特征為：在其寬邊x=l/2上呈直線變化，在其長邊y=b/2上呈曲線變化，可用x的無常數項四次多項式進行擬合。

2） 木材剪切模量與其一階扭轉頻率的關系式（2）、（3）、（4）用于推算木材主向剪切模量適用的方板寬厚比為：對于木材弦向和徑向方板寬厚比分別不得小于17 和20；對于木材橫向方板寬厚比則從7 到30。

3） 自由方板扭轉模態法，即木材剪切模量與其一階扭轉頻率的修正關系式（6）、（7）、（8）用于測試木材主向剪切模量適用的方板寬厚比，對于木材弦向、徑向和橫向方板均在7～30 范圍內。

4） 自由方板扭轉模態法既適用于測試木材主向剪切模量，又適用于測試木質復合板材和各向同性材料剪切模量，其有效性得到自由桿件扭轉振動法和非對稱四點彎曲法試驗驗證。

5） 理論分析和試驗結果表明，傳統自由方板扭轉振動法測試木質復合材和木材剪切模量偏低，其偏低程度與材料類別和方板寬厚比有關。