整體把握公式,發展數學素養
——以“誘導公式第2 課時”為例

湖南省長沙市第一中學(410005) 趙意揚

1 問題提出

數學公式是人們在研究自然界物與物之間時發現的一些聯系,并通過一定方式表達出來的一種表達方法. 高中數學教師教學中所應用到最多的就是數學公式,高中的數學公式也是學生解題的依據. 如果在數學教學過程中,教師不注重數學公式的推導教學,不注重公式的聯系,僅僅是生搬硬套公式,那么學生對于公式的理解僅僅停留在表層,對于公式只會死記硬背,而無法探究得知公式的本質,就會出現學不入迷,懂而不會,認識低下的現象.《普通高中數學課程標準(2017 年版）》在課程目標中指出: 高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向,創造合適的教學情境,啟發學生思考,引導學生把握數學內容的本質. 筆者以人教A 版必修第一冊第五章第三節誘導公式第2 課時為例,利用問題驅動,努力做到激發學生的學習興趣,促進學生對公式的理解,旨在提高學生的數學核心素養和綜合素質.

2 教學分析及設計

2.1 教材解讀

本節教學內容是三角函數誘導公式五與公式六的推導過程及其簡單應用. 在學生學習了任意角三角函數的定義、同角三角函數關系、誘導公式一到四的基礎上,將對稱軸變為特殊直線y=x,增加了推導的難度. 一方面不光要對角的終邊關于y=x時角的關系進行說明,還要對直角坐標系中關于對稱的兩個點坐標之間的關系進行證明;另一方面公式六的推導還運用了兩次對稱變換,這個也是學生理解的一個難點. 本節課學生將進一步學習利用誘導公式進行三角函數的求值化簡等內容,也為后面學習兩角差的余弦公式做準備.

2.2 學情分析

知識層面,學生已經學習了三角函數的概念與同角三角函數的關系,以及誘導公式一到四,對圓的對稱性比較熟悉,對關于y=x對稱的兩個點坐標之間的關系也有基本的了解,但是要以三角函數的定義為紐帶將兩者聯系起來,困難較大;能力層面,學生已經具有了一定的數學抽象素養,邏輯推理素養和直觀想象素養;思想方法層面,數形結合、歸納推理、特殊到一般的數學思想已初步形成.

2.3 教學目標

(2)通過分析公式五與公式六之間的關系,以及公式一到公式六之間的聯系,形成誘導公式的整體架構. 能利用誘導公式進行三角函數式的化簡,求值與證明,發展數學運算的素養.

2.4 教學重點與難點

重點: 利用圓的對稱性研究誘導公式五與六,運用誘導公式進行簡單三角函數的求值,化簡與恒等式的證明.

難點: 發現圓的對稱性與三角函數之間的關系,建立聯系.

2.5 教學過程

環節1 情境引入

教師: 上節課我們研究了公式二～公式四,我們是如何得到這些公式的?

學生1: 由圓的對稱性得到角與角的關系,得到坐標間的關系,從而得到三角函數的關系.

設計意圖通過回顧上節課對三組誘導公式的探究過程,為這節課兩組誘導公式地探究做準備.

教師: 兩個角的終邊除了關于原點,坐標軸對稱外,你認為還有哪些對稱關系值得研究? 你打算怎樣研究?

學生2: 在前面我們學習了反函數,兩個反函數關于直線y=x對稱,還可以研究角的終邊關于y=x對稱的情況.

環節2 新知探究

教師: 你能類比公式二～公式四的研究過程,探究終邊關于y=x對稱的兩個角的三角函數的關系嗎?

師生活動: 先由學生獨立思考,得出思路與方法,然后開展獨立探究.

教師: 根據剛才的討論,我們下面探究的內容有

探究1: 設任意角α的終邊與單位圓交于點P1. 作P1關于原點的對稱點P2,以OP2為終邊的角β與角α有什么數量關系?

學生活動: 小組討論,作圖探究并回答問題. 一名學生上臺使用幾何畫板展示過程,如圖1-圖8. 在角α的變化過程中始終有β=2kπ+(-α).

圖1 演示圖1

圖2 演示圖2

圖3 演示圖3

圖4 演示圖4

圖5 演示圖5

圖6 演示圖6

圖7 演示圖7

圖8 演示圖8

教師: 我們除了用幾何畫板觀察角的關系外,還可以從旋轉的角度來理解嗎?

學生討論,學生代表發言,教師點評: 先將與x軸非負半軸重合的射線繞原點旋轉,旋轉的方向與α的方向相反,旋轉的大小與α相等,得到角-α的終邊,再將角-α的終邊逆時針旋轉到OP2,利用任意角加法的定義,則OP2為角-α的終邊,而這兩個角的終邊關于關于y=x對稱.

探究2: 角β與角α的三角函數值有什么數量關系?

教師: 本節課我們只對第一種情況進行證明,其余情況留給同學們課后思考.

師生活動: 學生小組討論,教師展示學生的證明過程.

學生3: 由三角函數的定義,有P1(cosα,sinα).

由圓的對稱性可以知道P2在單位圓上, 于是有P2(cos(- α),sin(- α)). 又由于P1與P2關于直線y=x對稱,于是又有P2(sinα,cosα). 從而有sin(-α)=cosα,cos(-α)=sinα,即誘導公式五.

設計意圖通過問題引導,師生互動交流,在明確探究的問題和方法的基礎上,放手讓學生自主探究,在推導公式五的過程中,發展直觀想象,邏輯推理等素養.

教師: 在探究公式二到公式五的過程中,都是將點P做了一次對稱變換. 如果對P做了兩次對稱變換,又可以得到三角函數的哪些關系式呢?

學生活動: 小組探究,并匯報成果.

法一: 單位圓上點P1先關于直線y=x對稱得到點P2,再關于y軸對稱得到對稱點P3,以OP3為終邊的角為

由圓的對稱性可以知道P3在單位圓上, 于是有又由于P1與P2關于直線y=x對稱, 于是又有P2(sinα,cosα).P2與P3關于y軸對稱, 于是又有P3(-sinα,cosα). 從而有=cosα,=-sinα,即誘導公式六.

法二: 單位圓上點P1先關于x軸對稱, 再關于直線y=x對稱得到點P6.

法三: 將單位圓上點P1逆時針旋轉角得到點P6.教師活動: 點評小組成果,引導學生得到誘導公式六.

設計意圖基于誘導公式五的背景增加新的研究條件,提出探索性問題, 有利于培養學生發現和提出問題的能力.這里重點啟發學生利用前面的學習經驗,通過適當的幾何變換,坐標變換得出角的數量關系,以及坐標之間的關系,讓學生進一步熟悉研究的一般方法.

教師: 前面通過兩次對稱變換或者旋轉變換,得到公式六. 能不能從代數變換角度,利用已有公式直接推出公式六?

追問: 你能從公式六出發推導公式五嗎?

師生活動: 由學生獨立思考,得出結論,教師點評.

設計意圖通過上述追問,引導學生用不同方法推導公式,從不同角度認識公式,建立公式之間更緊密的聯系,從而提升對誘導公式整體性的認識,認識到在三角函數恒等變形中,對角的變形是需要經常使用的技巧,為靈活運用公式解決問題打下基礎.

教師: 我們已經學習了誘導公式一到六,你如何來記憶這些公式?

師生活動: 學生討論,進行總結,教師點評. 利用圓的對稱性,如圖9、圖10. 在數形結合的基礎上進行記憶與理解,體會誘導公式一～六的之間的聯系.

圖9 誘導公式記憶圖1

圖10 誘導公式記憶圖2

設計意圖讓學生進一步從整體上認識公式,也為后面在應用過程中靈活選用公式及角變換作鋪墊,學生的整體思想及符號意識得到了進一步的提升.

環節3 新知應用

例1. 化簡

學生活動: 由學生回答. 教師活動: 師生共同分析,再作評價.

設計意圖在例題的求解過程中,進一步鞏固和完善了教科書中的流程圖,體現了轉化的數學思想方法,通過例題形成解決一類問題的思維方法.

例2. 已知sin(53°-α)=,且-270° ＜α ＜-90°,求sin(37°+α)的值.

師生活動: 教師讓學生說說思考步驟,再由學生獨立完成,展示解答過程.

總結: 在利用誘導公式解決問題時,要注意三角函數恒等變形與代數恒等變形的差異,即三角恒等變形不僅僅是對三角函數式進行改變,角之間的特殊關系也是變形的重要關注點,角的特殊關系表現在它們的和、差是特殊角上.

教師: 觀察公式一～公式六,你能歸納一下各公式中兩個角之間各有什么特定關系嗎? 由此給你什么啟發?

師生活動: 先由學生獨立思考,再進行小組討論,最后通過全班交流得出結果.

設兩個角是α、β,我們有

公式一:β-α=2kπ,公式二:β-α=π,

公式三:β+α=0,公式四:β+α=π,

公式五:β+α=,公式六:β-α=.

總結: 誘導公式中的兩個角都有特殊關系,即它們的和或差是特殊角. 這樣,在利用誘導公式解決問題時,首先要觀察所給的三角式中角的特點,是否滿足“和或差是特殊角”.

設計意圖例1 的教學重點是恰當選擇公式. 例2 的教學重點是引導學生觀察角之間的特殊關系上. 通過這兩個例題要注意數學運算素養的培養. 通過追問引導學生歸納出誘導公式中兩個角的特定關系,從而使學生掌握運用誘導公式解決問題的一般思路. 根據角之間的特殊關系詵擇誘導公式,則是一個探究運算思路的過程.

環節4 課堂小結

回憶本節課的內容,回答下列問題:

(1)探索公式一～公式六,我們經歷了怎樣的過程? 用了哪些數學思想和方法?

(2)公式一～公式六有怎樣的結構? 一般地,可以按怎樣的順序運用這些公式?

(3)誘導公式數量很多,你覺得用什么方法可以達到有效記憶,靈活運用的效果?

學生活動: 自我梳理. 回顧本節課,并回答問題. 教師活動: 引導升華.

總結: 探索公式一～公式六, 是由角的終邊的對稱性得到角之間的關系, 再由點的對稱性得到點的坐標間的關系,從而得到誘導公式. 探究誘導公式的過程中使用了豐富的數學思想方法,函數變換、對稱變換(包括軸對稱、旋轉對稱)、坐標變換、不變量、數形結合等思想都用到了. 從變換的觀點出發, 公式一～公式六的結構可以這樣來看: 公式一～公式四是同名三角函數之間的變換,這是因為如果兩個角的終邊關于原點或坐標軸對稱,那么它們與單位圓的交點P(u,v),Q(s,t)的坐標有u=±s,v=±t的關系;公式五、公式六是正弦函數與余弦函數之間的變換,這是因為如果兩個角的終邊關于直線y=x或y=-x對稱,那么它們與單位圓的交點P(u,v),Q(s,t)的坐標有u=t,v=s或u=-t,v=-s的關系. 誘導公式的運用順序以將角的范圍變到[0,]為定向. 公式的記憶要建立在理解的基礎上,要以單位圓為載體數形結合地進行記憶.

設計意圖通過對誘導公式推導方法的回顧和反思,讓學生從“四基”等角度進行總結與提煉, 將零碎的知識系統化,體系化,更有助于學生數學學科核心素養的提升.

環節5 課后作業

基礎作業: 課本第194 頁練習2、3.

拓展作業: 借助單位圓,還可以建立角的終邊之間的哪些特殊位置關系? 由此還能得到三角函數值之間的哪些恒等關系?

3 教學反思

(1)整體把握教學內容

為了促進學生的思維成長,必需用大單元教學的理念整體把握學科內容.誘導公式五與六與公式二到四在思維方式和學習方式上是統一的.所以在教學過程的第一個環節通過回顧了誘導公式二到四的研究方法, 類比圓的關于原點, 坐標軸對稱引入了圓更一般的對稱性,通過開放性的設計讓學生自己提出數學問題的設計形式,然后借助單位圓運用邏輯推理推導誘導公式五,有利于提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的綜合能力.

(2)整體聯系數學公式

長期以來的數學公式教學,只要求學生記住結論與套路即可,學生不明所以,漸漸地就喪失了學習的熱情和自信,使學生思維長期處于低效運行狀態. 數學公式教學不僅僅要求學生學會公式,記住公式,而是更重視學生對于數學公式的理解能力和學生對公式來源的探索精神,培養學生分析與總結的能力. 特別是公式串的教學,要引導學生不僅將公式之間的研究方法進行聯系, 還要對公式之間的關聯進行總結,培養學生類比推理的能力,學會使用化歸數學思想,培養學生多向性的思考方式.

在高中數學公式教學中,教師要將核心素養培養作為教育目標,并融合到課堂教學中. 這種新的教學方式,更加符合新課程改革的要求,提高學生的綜合素質,同時,也提高了教師的教學質量,提高了學生的學習效率. 使學生的學習不再像以往那樣沉闊,讓高中數學的課堂更加鮮活生動.