一道求代數式取值范圍題目的探究與推廣

上海市民立中學(200040) 孫利明

臨近高三一模考和上海春考,高三學生已經復習過了函數、不等式、三角函數、二項式定理和解析幾何等相關知識,但碰到一個新的數學問題,班級學生往往不會綜合應用這些知識來求解,很多時候聽到學生會這樣說:“老師,這個問題我沒有思路”、“老師,我的方法解決不了這個題目”等. 目前學生在數學學習中遇到的困難主要是: 不能將題目中的條件和結論進行等價轉化.

本文將對高中數學的一個典型題目探究其解決的方法并作一般情況下的推廣,使學生經歷多角度、多維度思考研究數學問題并且解決數學問題的過程,體會題目條件和結論的等價轉化,掌握求代數式取值范圍的常用方法和策略.

1 題目呈現

已知x≥0,y≥0 且x+y=1,求x2+y2的取值范圍.

2 探究解法

法一(函數思想)

法二(運用基本不等式)

法三(三角換元思想)

法四(對稱換元思想)法五(數形結合思想)

設d=d表示線段AB(x≥0,y≥0 且x+y= 1) 上動點C(x,y) 到(0,0)的距離. 由圖可得,當C與A(1,0)或B(0,1)重合時,dmax= 1, 即(x2+y2)max= 1; 當OC⊥AB時,dmin=即(x2+y2)min=

法六(數形結合思想)

設x2+y2=r2(r ＞0), 此方程表示以坐標原點為圓心、半徑為r的動圓,記為⊙O. 由圖可得,當⊙O經過線段AB的端點時,rmax= 1,即(x2+y2)max= 1;當⊙O與線段AB的相切時,rmin=

法七(向量法)

3 問題推廣

4 教學反思

本節課從7 種方法求解了一個求代數式取值范圍的題目,并對本題進行了一般情況下的推廣. 本題作為高中數學的典型題目,需要學生經歷一題多解的探究學習過程,值得教師進行一題多解的教學. 這樣的教學使得高三的數學課堂更加高效,學生的學習更加有效. 下面再談幾點加強高三數學總復習有效性和高效性的方法:

(1)美國著名數學教育家波利亞說:“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義但又不復雜的題目,去幫助學生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就好像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領域. ”因此,恰當的進行一題多解能夠有效地完善學生對數學知識之間的聯系,感受不同解題方法,提升學生思維的發散性;建立知識發展脈絡,提升學生思維的系統性.

(2)布魯納曾經說過:“探索,是數學教學的生命線. ”蘇霍姆林斯基也說過:“人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要,就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者. ”教學中,只有讓學生經歷自主探索的過程,才能最大限度地激發和調動學生的積極性和求知欲; 只有讓學生自主發現知識,才能有效地促進學生真正掌握知識.

(3)課堂是教師的主陣地,課堂上教師不僅要教會學生知識,更要教會學生思考問題和解決問題的方法. 例如三角比章節由很多的公式,高三復習中如果教師僅僅是告訴學生有這些三角公式,要求學生去死記硬背,勢必會造成學生不能很好的應用三角公式. 教師應該在教學中讓學生體會這些三角公式的來龍去脈,經歷三角公式的推導過程,發現三角公式之間的內在關系,只要這樣,學生才能靈活的運用三角公式.

(4)數學是思維的科學,高三復習中解題的目的是為了使學生理解和掌握這些題背后的思想與方法,從而追求數學思想的貫通和方法的靈活運用. 因此,要注重解決問題的通性通法,注重通性通法的應用.

(5)對每一個數學問題教師要培養學生多思勤想、研究的習慣, 常規性地引導學生能不能從正面作出引伸和拓廣,從逆向探索能否進一步擴展.