從一道二次函數(shù)題談代數(shù)運(yùn)算能力的落實(shí)

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510062) 梁鎮(zhèn)輝

1 基于‘學(xué)業(yè)要求’,精選運(yùn)算典例

新標(biāo)準(zhǔn)在課程內(nèi)容呈現(xiàn)上注重?cái)?shù)學(xué)知識與方法的層次性和多樣性[1], 對二次函數(shù)的運(yùn)算要求方面主要涉及函數(shù)表達(dá)式的計(jì)算、交點(diǎn)坐標(biāo)的求解、運(yùn)用配方法轉(zhuǎn)化函數(shù)表達(dá)式形式、求頂點(diǎn)坐標(biāo)、關(guān)聯(lián)方程和不等式等. 此外,習(xí)題設(shè)計(jì)要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)和通性通法, 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)運(yùn)算多樣性[3]. 基于上述分析,在典例選擇上,選取了2019 年山東省泰安市岱岳區(qū)九年級(上)期末試卷第23 題,已知二次函數(shù)y=x2+2mx+(m2-1)(m是常數(shù)). (1)若它的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長度. (2)若它的圖象頂點(diǎn)在直線y=-x+3 上,求m的值. 該題目考察二次函數(shù)相關(guān)運(yùn)算能力,解法多樣,還能夠提升學(xué)生含參運(yùn)算能力,體現(xiàn)了適應(yīng)學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展需求.

2 著力‘符號的運(yùn)算和推理’,強(qiáng)化運(yùn)算技能

新標(biāo)準(zhǔn)建議老師在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域教學(xué)過程中,通過符號的運(yùn)算和推理提升運(yùn)算能力. 標(biāo)準(zhǔn)還要求教師在教學(xué)過程中,關(guān)注學(xué)生個(gè)性化、多樣化的學(xué)習(xí)和發(fā)展需求,不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程有不同的收獲, 當(dāng)然也會形成不同的理解.學(xué)生二次函數(shù)知識構(gòu)建的層次性和多樣性差異,使得學(xué)生在二次函數(shù)的運(yùn)算和推理過程中,產(chǎn)生不同的認(rèn)識和解法,我們尊重學(xué)生的主體地位,鼓勵(lì)一題多解,促進(jìn)學(xué)生在原有二次函數(shù)相關(guān)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)上得到后續(xù)發(fā)展.

2.1 典例問(1)的解法

求線段長的數(shù)學(xué)本質(zhì)是二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的差,可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的求根問題,認(rèn)識到多種求根方法,便有如下解題思路:

2. 利用配方法求根. 因?yàn)? =x2+2mx+m2-1 =(x+m)2-1,∴(x+m)2=1,解得x1=-m+1,x2=-m-1進(jìn)而解決問題.

3. 利用因式分解求根. 因?yàn)?=x2+2mx+(m-1)(m+1)=(x+m+1)(x+m-1),解得x1=-m+1,x2=-m-1進(jìn)而解決問題.

顯然,典例問(1)立足把二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解含參的一元二次方程的求根運(yùn)算問題,在沒有具體解的情況下,用含字母m的代數(shù)式代入求根公式、使用配方法或者因式分解這些‘通性通法’,表示解的代數(shù)式,發(fā)展學(xué)生符號意識. 用含參的代數(shù)式計(jì)算線段長度,提升學(xué)生代數(shù)式與代數(shù)式運(yùn)算的能力.

2.2 典例問(2)的解法

問(2)的運(yùn)算對象顯然是二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo),從不同方面認(rèn)識頂點(diǎn)坐標(biāo)的意義,則有以下解題思路:

2. 利用配方法把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式求解. ∵二次函數(shù)y=x2+2mx+(m2-1)= (x+m)2-1,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m,-1),進(jìn)而解決問題.

3. 利用頂點(diǎn)坐標(biāo)落在對稱軸上轉(zhuǎn)化為用x軸兩個(gè)交點(diǎn)計(jì)算對稱軸求解. 由(1)知A、B關(guān)于拋物線對稱軸對稱,則=-m,代入拋物線解析式得y=-1,進(jìn)而解決問題.

顯然,典例問(2)立足頂點(diǎn)坐標(biāo)的意義理解,強(qiáng)化了二次函數(shù)一般表達(dá)式下頂點(diǎn)公式代入計(jì)算能力和配方法轉(zhuǎn)化函數(shù)表達(dá)式的技能,借助函數(shù)圖象的軸對稱性可以快速求出頂點(diǎn)橫坐標(biāo). 不同角度的理解和思維方法,促進(jìn)學(xué)生學(xué)會選擇合適的運(yùn)算思路解決問題的素養(yǎng).

3 著力‘引發(fā)學(xué)生思考’,深化運(yùn)算內(nèi)涵的認(rèn)識

新標(biāo)準(zhǔn)提出在教學(xué)中要幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的知識體系[1]. 二次函數(shù)學(xué)習(xí)完后,學(xué)生能否總結(jié)歸納相關(guān)運(yùn)算的依據(jù)呢? 在運(yùn)算的過程中如何幫助學(xué)生加深函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程問題的思想方法呢? 如何發(fā)展學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)的知識和方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力?

3.1 引發(fā)學(xué)生思考公式內(nèi)涵,培養(yǎng)運(yùn)算推理能力

新標(biāo)準(zhǔn)要求教師幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看待問題, 形成科學(xué)思維發(fā)展核心素養(yǎng)[1]. 由完 全 平 方 公 式(x1-x2)2= (x1+x2)2-4x1· x2以 及|x1-x2|2= (x1-x2)2, 引發(fā)學(xué)生由根的關(guān)系聯(lián)想韋達(dá)定理解決問題,培養(yǎng)整體運(yùn)算能力,發(fā)展代數(shù)的邏輯推理素養(yǎng). 可得到典例(1) 的新解法: 若A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1、x2,則AB=|x1-x2|,Δ=4,即Δ＞0,方程有解,由韋達(dá)定理x1+x2=-2m,x1x2=(m2-1),且(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4,代入得AB=|x1-x1|=2.

3.2 引發(fā)學(xué)生思考解題困惑,培養(yǎng)運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力

由于頂點(diǎn)在拋物線上, 也落在直線上, 對頂點(diǎn)的認(rèn)識就可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn). 第一次引發(fā)學(xué)生思考問題:能否轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程■組求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法? 可得典例

由于此處解方程遇到困難, 第二次引發(fā)學(xué)生思考問題:聯(lián)立方程組的解題過程有誤嗎? 思路對嗎? 解不出根怎么辦? 是不是還可以轉(zhuǎn)化求解思路? ...... 學(xué)生很快得出兩個(gè)結(jié)論: 思路正確, 解題過程無誤; 學(xué)生通過消x的思路得y=(6-2y)2+2m(6-2y)+(m2-1)仍然無法解出y,大家再次陷入困局.

由于解方程的困難還沒有解決, 第三次引發(fā)學(xué)生思考問題: 最終問題是求出m, 把字母m當(dāng)作這個(gè)方程的未知數(shù)轉(zhuǎn)化求解思路可以嗎? 于是得關(guān)于m的一元二次方程可是事與愿違,同樣無法求出m.

由于如何解方程的問題依舊沒有解決,最終第四次引發(fā)學(xué)生思考問題: 二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是唯一的嗎(由于拋物線開口方向與大小確定,那么m就只有一個(gè)對應(yīng)的值)? 解析式中字母m的值也是唯一的嗎? 關(guān)于m的一元二次方程有多少個(gè)解? : 很快學(xué)生發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)唯一,即m的解的個(gè)數(shù)只有一個(gè),聯(lián)想到根的判別式,即關(guān)于m的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,得x=8. 繼而解得m=-8.

這種解法真是“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村”,看似無法運(yùn)算的含參方程的問題,如果師生及時(shí)提出合適的問題,轉(zhuǎn)化思維,就會“直搗黃龍”.

3.3 鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難,培養(yǎng)運(yùn)算思辨能力

運(yùn)算能力是算和思、操作和思辨的融合[2]. 先鼓勵(lì)學(xué)生思考: 頂點(diǎn)坐標(biāo)是一個(gè)未知量, 能否通過設(shè)元辦法求解呢? 如何設(shè)元表示頂點(diǎn)坐標(biāo)比較合理簡便呢? 學(xué)生根據(jù)題意分享自己的看法, 得到合理且簡便的設(shè)元新思路. 因?yàn)轫旤c(diǎn)在直線上, 設(shè)頂點(diǎn)為(h,-代入拋物線解析式h+ 3 =h2+ 2mh+m2-1,整理得0=h2+(2m+)h+(m2-4).

接著鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑: 這個(gè)方程能解嗎? 需要轉(zhuǎn)化思路嗎? 此時(shí), 學(xué)生經(jīng)過前一種轉(zhuǎn)化思路的引導(dǎo), 很快把這個(gè)不能直接求出h解的參數(shù)問題, 轉(zhuǎn)化為關(guān)于h的一元二次方程, 如法炮制, 拋物線的頂點(diǎn)只有一個(gè), 即關(guān)于h的方程0 =h2+(2m+)h+(m2-4)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ = (2m+)2-4(m2-4)= 0,解得m=-. 解到這個(gè)地方,老師和學(xué)生全都驚訝了,為什么這個(gè)思路與前面的解題方法一樣,但是結(jié)果卻是不同的呢?

緊接著鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑: 是不是解題過程有誤? 是不是方法不對? (實(shí)際上過程和方法都對)學(xué)生質(zhì)疑得到: 頂點(diǎn)是唯一的本質(zhì)不應(yīng)該是h有唯一解, 而應(yīng)該是m有為一解, 把字母m當(dāng)作這個(gè)方程的未知數(shù). 于是轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程m2+2hm+(h2+h-4) = 0. 由于頂點(diǎn)是唯一的,因此關(guān)于m的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ = (2h)2-4(h2+h-4) = 0, 得h= 8. 繼而解得m=-8.(全班嘩然)

引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑同一種解題思路下, 為什么兩種結(jié)果完全不一樣呢? 實(shí)際上我們畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象(草圖也可以)就發(fā)現(xiàn)問題所在. 即對拋物線而言,一共有兩個(gè)點(diǎn)落在了直線上,除了頂點(diǎn)外,還有另外一個(gè)點(diǎn). 所以利用直線解析式設(shè)定拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)就不是‘唯一’的了,(h,-h+3)有可能是頂點(diǎn),也有可能是兩個(gè)圖象的其它交點(diǎn),因此對應(yīng)h的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根了. 而頂點(diǎn)坐標(biāo)的唯一性決定了函數(shù)表達(dá)式的唯一性,即m值的唯一性,所以轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根才是合理的. 通過這樣的質(zhì)疑問難,讓不同層次的學(xué)生的思維真正得到鍛煉,既有正向思維也有逆向思維,既有模仿訓(xùn)練也有區(qū)分思辨,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和運(yùn)算實(shí)效性[3].

總的來說, 二次函數(shù)的計(jì)算問題, 乃至其它方面的數(shù)學(xué)運(yùn)算問題, 有其基本方法和基本思路, 需要‘注重和夯實(shí)運(yùn)算的過程性教學(xué)[3]’. 同時(shí)在訓(xùn)練基本運(yùn)算技能的基礎(chǔ)上, 需要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生多思、多辨, 經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的過程, 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)精神, 借助二次函數(shù)的學(xué)習(xí), 希望學(xué)生在價(jià)值觀引導(dǎo)上, 能夠形成積極的解法探究精神和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣; 在品格培養(yǎng)方面, 形成善于思考、主動提出合理問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣和合作交流的意愿;在關(guān)鍵能力培養(yǎng)當(dāng)中, 能夠洞悉二次函數(shù)運(yùn)算內(nèi)涵, 及時(shí)轉(zhuǎn)變思維, 培養(yǎng)起高中階段學(xué)習(xí)所必須具備的代數(shù)運(yùn)算能力.