跨越時(shí)空的賬單*
——以“正數(shù)與負(fù)數(shù)”為例

廣東省東莞市南城陽光實(shí)驗(yàn)中學(xué)(523000) 譚新艷

美國數(shù)學(xué)史家卡約黎在為數(shù)學(xué)教師所撰寫的《初等數(shù)學(xué)史》中指出,數(shù)學(xué)史乃是數(shù)學(xué)教學(xué)的工具. 我國數(shù)學(xué)史家錢寶琮認(rèn)為“數(shù)學(xué)史研究的一個(gè)重要目標(biāo)是為中學(xué)數(shù)學(xué)教師服務(wù). ”教師對(duì)知識(shí)理解通透,教學(xué)便會(huì)通透,學(xué)生就更容易理解知識(shí). 數(shù)學(xué)史融入我國數(shù)學(xué)教材有著悠久的歷史,那么如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)的教育價(jià)值? 下面筆者以人教版教材七年級(jí)上冊(cè)第一章第一節(jié)“正數(shù)與負(fù)數(shù)”教學(xué)為例,就如何進(jìn)行數(shù)學(xué)與歷史學(xué)科融合教學(xué)與讀者交流.

1 問題提出

人教版教材七年級(jí)上冊(cè)第一章“有理數(shù)”中有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng): 幫助家庭記錄一個(gè)月的生活收支賬目,收入記為正數(shù),支出記為負(fù)數(shù),計(jì)算當(dāng)月的總收入、支出、總結(jié)余[1]. 它是本章內(nèi)容的延伸和拓展,目的在于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用本章所學(xué)知識(shí)為解決實(shí)際問題提供方法. 學(xué)生要完成這個(gè)活動(dòng),需要掌握有理數(shù)的運(yùn)算. 怎樣運(yùn)算? 那要知道正數(shù)、負(fù)數(shù)的概念及使用方法,所以負(fù)數(shù)的概念是本章的重頭戲. 我們知道,在數(shù)與代數(shù)的大單元學(xué)習(xí)中,學(xué)習(xí)的是各種表示(數(shù)量和模型)、運(yùn)算方法. 然而事實(shí)上,在教學(xué)中,很多教師認(rèn)為“正數(shù)與負(fù)數(shù)”這一節(jié)知識(shí)很簡單,學(xué)生通過閱讀教材,便會(huì)明白,所以教師對(duì)于負(fù)數(shù)的概念也是結(jié)論性的講解. 他們忽略了歷史上曾經(jīng)遇到相似難題,美國數(shù)學(xué)家克萊因曾斷言學(xué)生在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)必定會(huì)遇到困難:“毋庸置疑,歷史上大數(shù)學(xué)家所遇到的困難,恰恰正是學(xué)生會(huì)遇到的學(xué)習(xí)障礙. 從一流的數(shù)學(xué)誕生開始,數(shù)學(xué)家花了1000 年才得到負(fù)數(shù)概念,又花了1000 年才接受負(fù)數(shù)概念,因此我們可以肯定,學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)必定會(huì)遇到困難[2].”所以系統(tǒng)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)是一個(gè)必不可少的過程.

2 教學(xué)實(shí)踐

基于教科書、已有教學(xué)設(shè)計(jì)以及歷史素材,我們?cè)O(shè)定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下:

(1)了解本單元學(xué)習(xí)的方向;

(2)通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí),知道負(fù)數(shù)由來,體會(huì)負(fù)數(shù)表示及轉(zhuǎn)化過程;

(3)掌握負(fù)數(shù)的概念和表示,以及0 的意義.

具體教學(xué)流程如圖所示.

2.1 布置任務(wù),引領(lǐng)方向

問題1下面是一頁賬單(圖1),但有一部分沾了水,你能根據(jù)上面殘余的數(shù)字算出這一頁最后的結(jié)余嗎?

圖1

教學(xué)分析“正數(shù)與負(fù)數(shù)”為一章的起始課,統(tǒng)領(lǐng)著整章知識(shí)脈絡(luò),筆者采用大單元教學(xué)方式,首先向?qū)W生提出本單元需要完成的大任務(wù),通過逆向設(shè)計(jì)任務(wù),驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí),引領(lǐng)單元方向. 教師出示任務(wù)后,留出一分鐘給學(xué)生思考——如何計(jì)算? 表格中的數(shù)字“-120、-150、-315、-540、-470”是什么? 學(xué)生帶著疑問、好奇學(xué)習(xí)新知識(shí).

2.2 創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

問題2數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展離不開生活和生產(chǎn)的需要. 你們知道這些圖片(圖2)介紹的是什么內(nèi)容嗎?

圖2

教師: 在遠(yuǎn)古時(shí)代,人類靠捕獵為生,為了統(tǒng)計(jì)獵物的個(gè)數(shù),產(chǎn)生了正整數(shù),1、2、3、…,如果獵人在這一天什么獵物也沒有打到,他們又如何計(jì)數(shù)? 為了表示沒有和空位產(chǎn)生了數(shù)字零,如果分配獵物時(shí),兩個(gè)人分三件東西,每個(gè)人該得多少呢? 于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了. 隨著社會(huì)的發(fā)展,商業(yè)經(jīng)濟(jì)越來越發(fā)達(dá),物品種類越來越多,這些數(shù)能滿足實(shí)際生活的需要嗎?

答案是不能.

下面列舉一些實(shí)際生活中會(huì)遇到的案例.

教師: 小明有100 元錢,他想買一個(gè)籃球,籃球的售價(jià)是168 元/個(gè),請(qǐng)問小明還差多少錢?

學(xué)生: 168-100=68 元

教師: 小悅今天掙了200 元錢,但買衣服花了230 元,請(qǐng)問小悅今天凈收入多少?

學(xué)生1: 200-230

學(xué)生2: 好像不對(duì). 小數(shù)怎么能減大數(shù)呢?

教師: 大家能不能也想一種數(shù)字來解這道題呢?

學(xué)生3: 負(fù)數(shù).

教師: 其實(shí)早在很多年前,人們?cè)谏钪幸呀?jīng)開始使用負(fù)數(shù). 戰(zhàn)國時(shí)期,《法經(jīng)》中記載了這樣一句話“衣五人終歲用千五百不足四百五十”. 這里的“不足”就是負(fù)數(shù)的意思.

教學(xué)分析數(shù)學(xué)與社會(huì)生活的發(fā)展是相互促進(jìn)的,數(shù)學(xué)的產(chǎn)生源于社會(huì)生活的需要,數(shù)學(xué)的發(fā)展促進(jìn)了社會(huì)的進(jìn)步.回顧正整數(shù)、0、分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生,學(xué)生也能大膽地提出一種數(shù)字解決實(shí)際問題. 這三幅圖學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展,也可以學(xué)習(xí)歷史,培養(yǎng)歷史學(xué)科的核心素養(yǎng)(歷史解釋和時(shí)空觀念). 通過歷史,我們能更好地了解過去,認(rèn)識(shí)現(xiàn)在,預(yù)知未來.

2.3 探究方法,解決問題

問題3去年冬天的某一天,哈爾濱的平均氣溫是零下13°C,長沙的平均氣溫是8℃,東莞的平均氣溫是13°C,請(qǐng)問這天東莞的平均氣溫比長沙高多少? 比哈爾濱的平均氣溫高多少[3]?

這里特意設(shè)置了兩個(gè)13°C,讓學(xué)生產(chǎn)生思考.

得到解題過程如下:

學(xué)生1: 東莞比長沙氣溫高5°C,算式13-8=5°C.

學(xué)生2: 東莞比哈爾濱氣溫高0°C,算式13-13=0°C.

學(xué)生3: 不對(duì),不是0°C.生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們,哈爾濱零下13°C 很冷,會(huì)下雪;東莞13°C 雖然有點(diǎn)冷,但不會(huì)下雪;不可能兩個(gè)溫度一樣.

教師: 同學(xué)們已經(jīng)觀察到“零下13°C 與13°C”的不同了,東莞氣溫13°C,意思是零上13°C.這兩個(gè)13°C,最大的區(qū)別是加有前綴的一對(duì)反義詞“零下與零上”,你能用什么方法表示“零下13°C 與零上13°C”嗎?

小組合作交流,碰撞出思維的火花.

學(xué)生4: 用顏色區(qū)分,紅色表示零上13°C,黑色表示零下13°C.

學(xué)生5: 用正斜字體區(qū)分,正立的13°C 表示零上13°C,斜體的13°C 表示零下13°C.

學(xué)生6: 標(biāo)記號(hào)區(qū)分,沒有標(biāo)記的13°C 表示零上13°C,帶框的表示零下13°C.

學(xué)生7: 用“+、-”號(hào)區(qū)分,+13°C 表示零上13°C,-13°C表示零下13°C.

教師: 同學(xué)們提出的不同表示方法,就是我們歷史上偉大的數(shù)學(xué)家們?cè)?jīng)的想法. 我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《九章算術(shù)》中用不同顏色分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)(紅色為正,黑色為負(fù))或者說用直立的木棍表示正數(shù),用斜的木棍表示負(fù)數(shù). 印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多將小圓點(diǎn)或小圓圈標(biāo)記在數(shù)字上面表示負(fù)數(shù). 直到1629 年,荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉德的負(fù)數(shù)符號(hào)“-”得到公認(rèn). 人類對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了漫長的歷程.

教學(xué)分析為了真正實(shí)現(xiàn)自主探究,變“接受答案的教育”為“創(chuàng)造答案的教育”,筆者大膽嘗試,重構(gòu)負(fù)數(shù)的表示.在探究過程中,學(xué)生仿佛成了數(shù)學(xué)家,獲得了成就感,提升了自信心. 在數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中,主要的數(shù)學(xué)方法是表示(數(shù)量和模型),運(yùn)算方法. 抓住本質(zhì)教學(xué),加入史料,讓學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)有了進(jìn)一步的理解,同時(shí)體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂趣.

2.4 整理材料,構(gòu)建概念

問題4請(qǐng)閱讀你們自己收集的材料、結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn),選擇其中的例子(圖3),讀一讀,想一想,并在小組內(nèi)交流感想.

圖3

據(jù)國家數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì): 今年我國的GDP 總量比上一年同期增長

思考: 你知道上面紅框中的數(shù)字代表什么意義嗎?

學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)很快回答出前面三個(gè)例子數(shù)字代表的意義. 但對(duì)第四個(gè)例子增長-2.7%感到疑惑.

學(xué)生1: 都說增長了,怎么還有負(fù)數(shù)呢?

教師: 正負(fù)數(shù)表示意義相反的量,增長的反義詞是下降,“增長-2.7%”意思是“下降2.7%”. 數(shù)學(xué)上,像3,1.8%,13 這樣大于零的數(shù)叫做正數(shù),有時(shí)為了明確表達(dá)意義,在正數(shù)前面也加上“+”(讀作正)號(hào). 例如+3000,+13,+0.5…像-3,-2.7%,-15.8…這樣在正數(shù)前面加上符號(hào)“-”(讀作負(fù)),小于零的數(shù)叫做負(fù)數(shù). 那么我們?cè)趯憽?”“-”有什么要注意的嗎?

學(xué)生2: 一個(gè)數(shù)前面的“+”“-”叫做它的符號(hào). 其中“+”可以省略不寫,而“-”不能省略不寫.

教師: 一個(gè)數(shù),不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)嗎?

學(xué)生3:“0”既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù);“0”是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界;“0”不是最小的數(shù),它小于任何正數(shù),大于所有負(fù)數(shù).

教師:“0”只表示空或沒有嗎?

學(xué)生4: 好像不是這樣的,比如溫度計(jì)顯示0°,是有溫度的.

教師: 0 是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn). 它不再簡簡單單的只表示沒有,它具有豐富的意義,它常用來表示某些量的基準(zhǔn)量. 如“0 點(diǎn)”不表示沒有時(shí)間,而是指特定的時(shí)刻,即半夜12 點(diǎn)或24 點(diǎn).

教學(xué)分析課前有一個(gè)前置作業(yè): 請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn),收集生活中出現(xiàn)正負(fù)數(shù)的材料,并解釋其正負(fù)數(shù)的意義. 將自己搜集到的資料拍攝成1 分鐘以內(nèi)的視頻. 學(xué)生對(duì)這個(gè)作業(yè)熱情非常高,上交了有質(zhì)量的作品,筆者發(fā)現(xiàn)不少家長也擔(dān)任了視頻中的角色,和孩子一起參與,增添了不少歡樂的親子時(shí)光. 學(xué)生自己在生活中找到的負(fù)數(shù)材料變成了課堂上的教學(xué)材料,學(xué)生學(xué)習(xí)的投入度更高,專注力更強(qiáng),效果更佳.

2.5 應(yīng)用方法,深化認(rèn)知

問題5一個(gè)暑假, 小虹體重增加2kg, 小明體重減少1kg,小花體重?zé)o變化,寫出小虹、小明、小花三人這個(gè)假期的體重分別增加多少?

教學(xué)分析這道題提問的是體重增加了多少,所以即使體重減少,也要表達(dá)增加了“負(fù)多少”,因此小虹、小明、小花三人的體重分別增加2kg,-1kg,0kg. 之后,和學(xué)生一起對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié): (1)數(shù)的擴(kuò)充,正數(shù)與負(fù)數(shù)、0;(2)負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性;(3)負(fù)數(shù)的概念及表示.

3 教學(xué)反思

3.1 妙用數(shù)學(xué)史架起數(shù)學(xué)與歷史學(xué)科的橋梁

縱觀多版本初中數(shù)學(xué)教材,均在“讀一讀”以及“思考與閱讀”板塊中給出了負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史,將其融合到數(shù)學(xué)教學(xué)中,激起了學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲. 負(fù)數(shù)的引入是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一大飛躍,使數(shù)的家族得到了擴(kuò)張,為人們提供了更多認(rèn)識(shí)世界的工具. 中國是世界上最早認(rèn)識(shí)和應(yīng)用負(fù)數(shù)的國家(比西方早一千多年). 通過歷史的滲透,培養(yǎng)學(xué)生家國情懷,民族自豪感. 另外,負(fù)數(shù)的產(chǎn)生和社會(huì)的發(fā)展息息相關(guān),從數(shù)學(xué)的角度看,數(shù)系得到了擴(kuò)充;從歷史的角度看,反映了人類歷史上商業(yè)的階段歷程. 多學(xué)科教學(xué)能夠打破學(xué)科界限,有利于培養(yǎng)學(xué)生用多維度的思維看問題,提升對(duì)事物的整體認(rèn)識(shí),提高學(xué)生綜合的知識(shí)素養(yǎng).

3.2 創(chuàng)設(shè)自然生成的情景是建構(gòu)負(fù)數(shù)概念的起點(diǎn)

英國哲學(xué)家斯賓塞曾說:“一般教起來使人覺得枯燥甚至討厭的知識(shí),依照自然的方法就成為極其有趣和有益的. ”本案例中,教師從史料記載和學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)引入概念,情境的創(chuàng)設(shè)將學(xué)生的注意力引向數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征.

依托于日常生活,從實(shí)際應(yīng)用中,理解正負(fù)數(shù)是比較容易達(dá)到的,即指意義相反的量. 但數(shù)學(xué)家們思考如何用文字語言清楚地定義正負(fù)數(shù)的概念,再用簡潔的數(shù)學(xué)語言表達(dá)正負(fù)數(shù),這是數(shù)學(xué)的本質(zhì). 數(shù)與代數(shù)的主要思想“歸納”與“轉(zhuǎn)化”. 創(chuàng)設(shè)自然生成的情景,每一位學(xué)生不知不覺中成為數(shù)學(xué)家. 進(jìn)行跨越時(shí)空的對(duì)話,讓每一位學(xué)生都為自己的表現(xiàn)感到驕傲.

3.3 提高教師專業(yè)發(fā)展是有效教學(xué)的途徑

韓愈說:“師者,所以傳道、受業(yè)、解惑也. ”在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師常常會(huì)遇到學(xué)生問“為什么”,比如為什么三角形內(nèi)角和等于180°? 明明一想就明白. 為什么要學(xué)習(xí)乘法公式?但有些問題是邏輯推理不能回答的. 教師便要借助數(shù)學(xué)史來解釋. 任何數(shù)學(xué)概念、公式、定理、思想都不是天上掉下來的,都有順其自然發(fā)生發(fā)展的過程. 以史為鑒,符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律. 教師對(duì)知識(shí)理解通透,他的教學(xué)才通透. 在本案例中,引導(dǎo)學(xué)生感受負(fù)數(shù)的發(fā)展歷程,借助數(shù)學(xué)史料,使學(xué)生更好的理解負(fù)數(shù)的定義和性質(zhì),幫助學(xué)生建立數(shù)感,增強(qiáng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí). 因此,教師學(xué)習(xí)必要的數(shù)學(xué)史能促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量提升.

數(shù)學(xué)與歷史跨學(xué)科教學(xué)離不開數(shù)學(xué)史. 但僅僅是數(shù)學(xué)史還不夠,我們要在教學(xué)中融入歷史學(xué)科的核心素養(yǎng)、思想方法. 本節(jié)課,將人類社會(huì)的商業(yè)發(fā)展歷程融入到課堂教學(xué)中,培養(yǎng)了歷史學(xué)科的核心素養(yǎng),獲得認(rèn)識(shí)歷史的思想和方法.