基于新課程標準的初中數學有效課堂教學
——以“圓周角的平分線”的課堂設計為例

廣東省廣州市荔灣區西關廣雅實驗學校(510000) 王丹麗

1 自主設問,培養創新意識

《義務教育數學課程標準(2022 年版)》在課程理念中提出: 學生通過數學的眼光,可以從現實世界的客觀現象中發現數量關系和空間形式,能夠在實際情境中發現和提出有意義的數學問題,進行數學探究;能夠合乎邏輯地解釋或論證數學的基本方法與結論,分析、解決簡單的數學問題和實際問題;逐步養成從數學角度觀察現實世界的意識與習慣,發展好奇心、想象力和創新意識[1]. 在中考備考的一次復習課中,筆者以教材的一道典型例題為藍本,讓學生可以根據原題的圖形結構和題文提出問題,進行分析、探究、解答,進而改編成能運用已學的知識和方法解答的問題.

原題[2](人教版九年級上冊教材第24 章24.1.4 圓周角例4 題干)如圖1,⊙O的直徑AB為10cm, 弦AC為6cm,∠ACB的平分線交⊙O于D.

圖1

這個圖形融合了對角線平分一角的對角互補四邊形、等腰直角三角形等基本圖形的核心知識,教師引導學生分析題干條件,挖掘圖形中的隱含的性質與結論,可進一步加深對基礎知識的理解,如根據圓周角相關定理,弧、弦、圓心角、圓周角的等量轉化,可以發現∠ACB= ∠ADB=90°,∠ACD= ∠BCD= ∠DAB=∠ABD=45°,弧AD=弦BD,弦AD=BD等數量關系,學生清楚了圖形特征,在這種情境之下發布任務由學生自主設問,提出更有意義的問題.

2 合作探究,提高發現問題的能力

在日常教學中,采用分組教學,有些作業任務是以小組合作完成的方式布置的. 針對圓的復習,本人設計了這樣的一個作業任務: 根據原題題干自主設問并想好解題策略,并由小組合作匯總后通過智學網提交合作成果. 任務發布后,同學們非常感興趣,都進行認真探究,得到一個個豐富多彩而富有趣味的問題,教師從中篩選對本節復習課有意義的問題,根據解題的難易按順序排列如下:

(1)求BC、AD、BD的長;

(2)求S四邊形ACBD;

(3)求CD的長;

(4) 若AB與CD相交于點E, 求SΔACE:SΔBDE、SΔBCE:SΔADE;

(5)若AB與CD相交于點E,求AE、BE、CE、DE;

評注這里提出的5 個小問題,用到了勾股定理、三角形面積公式、相似三角形、構造全等三角形等基礎知識,所用的知識點比較簡單,也涉及到初中數學幾個最基本的核心知識和解題最常用的技能方法,將它們放在一起,可以起到以點帶面的串聯作用,學生在設問和尋找解題策略的過程中,也很好地回顧復習數學基礎知識、基本方法、基本技能;而通過提前推送任務,一是能減少課堂思考時間,二是能讓老師有更充分的時間匯總更多問題,解法,有更多的思考如何整合的時間,備更高效的課堂教學.

通過課前批改小組匯總的作業中,筆者發現有多個小組提出問題(3),通過了解發現,在求解的過程中有較多的學生沒能短時間求解,或是需要借助同伴幫忙解答,同時還發現有兩個小組用了多種方法解答,于是重點討論問題(3),由各小組代表展示不同的解題思路,整合如下:

解法1如圖1-1,過點D作DF⊥CB于F,可得等腰RtΔCDF,設CF=DF=x,則BF=8-x,在RtΔBDF中,利用勾股定理求得x,從而求得CD的長;同理過點D作DH⊥AC于H,同理解得.

圖1-1

解法2如圖1-2, 過點D分別作DF⊥CB于F, 作DH⊥AC于H. 由角平分線的性質, 可得DH=DF, 故RtΔADHRtΔBDF(HL),設AH=BF=a,易證四邊形CHDF為正方形,由AC=CF得方程6+a=8-a,求得a=1,從而求得CD的長.

圖1-2

解法3如圖1-3, 過點A作AM⊥CD于M, 作BN⊥CD于N. 可得等腰RtΔACM, 等腰RtΔBDN, 故求AM、BN的長度, 易證ΔADMΔBDN, 故CD=CM+DM=AM+BN.

圖1-3

評注以上的三種解法其本質都是利用45°構造等腰直角三角形,從而轉化線段關系. 教師對此及時做了點評與總結. 其中解法2 是結合條件中角平分線,想到了常用的作輔助線的方法——雙垂直; 解法3 則是構造了全等的經典圖形——三垂直. 這些都是學生非常熟悉的解題方法,但此題以圓做背景,大多數學生無法將圓的知識與前面所學的幾何知識聯系起來,這些解法在此刻出現,讓學生感受從不同角度切入的一題多解,體會到解圓的綜合題要靈活運用以前的幾何知識,從而提高分析問題的能力.

問題討論到此時,學生的思維非?；钴S了,這時又有學生提出新的方法,

解法4如圖1-4,將ΔACD繞點D順時針旋轉90°至ΔBDG, 先證C、B、G三點共線, ∠CDG= 90°, 易得等腰RtΔCDG,CG=BC+BG=BC+AC=14,即可求CD的長.

圖1-4

該學生提到, 他發現等腰RtΔABD中,AD=BD,∠ADB= 90°, 滿足“等線段, 共端點”的特點, 因此想到用旋轉來求解,同理,旋轉ΔBCD也可以. 正在此時,又有學生發現一些新的結論,,顯如然許多同學都有了更深入的思考.,

3 變式探究,發展邏輯推理能力

經過以上的合作探究,學生對圓周角的平分線的基本圖形特征有了一定的熟悉度,這時將題干稍作變式,進一步培養學生發現數學問題、數學結論的能力.

變式1由特殊到一般,培養應用意識

問題1(2020 年廣州市中考第24 題改編)如圖2,⊙O為等邊ΔABC的外接圓,半徑為2,點D在劣弧AB上運動(不與點A,B重合),連接DA,DB,DC.

圖2

(1)求證:DC是∠ADB的平分線;

(2)試探究AC、BC與CD的數量關系;

(3)四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數嗎? 如果是,求出函數解析式;如果不是,請說明理由;

答案:(1)略; (2)AC+BC=√2CD; (3)S=

問題2如圖3,已知ΔABC內接于⊙O,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接DB,DC. 若BC=m,BD=n,求的值(用含m,n的式子表示).

圖3

評注問題1,2 的圖形結構與例題基本相同,條件表述有所不同,其中的數量關系均可由弧、弦、圓心角、圓周角的關系推到得到, 這幾題所用的知識點與技能方法基本相同,只是原來的等腰直角三角形變成等邊三角形,等腰三角形所得結果不盡相同,應引導學生分析相同與不同之間的某些關聯,積累解題經驗,培養解決問題的能力;問題3 將問題拓廣到一般的等腰三角形,由特殊到一般,引導學生發現圖形的共性,體會多題一解的數學本質;通過簡單的歸納或類比,猜想或發現結論,發展推理意識;學生在獨立思考,合作探究中,主動的參與數學活動,分析解決數學問題的過程中提高思維能力,同時培養學生合作交流的能力. 教師在這里是觀摩者,引導者.

變式2變換幾何圖形,挖掘思維深度

問題3(2016 年廣州市中考第25 題改編)如圖4,點C為ΔABD的外接圓上的一動點(點C不在上,且不與點B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°.

圖4

(1)若ΔABC關于直線AB的對稱圖形為ΔABM,連接DM,試探究DM2,AM2,BM2三者之間滿足的等量關系,并證明你的結論.

(2) 連接OA,P為半圓DAB上任意一點, 過P點作PE⊥OA于點E,設ΔOPE的內心為M,當點P在半圓上從點B運動到點D時,求內心M所經過的路徑長.

解析(1)如圖4-1,過點M作MF⊥MB于點M,過點A作AF⊥MA于點A,MF與AF交于點F,連接BF,由對稱性可知∠AMB= ∠ACB= 45°,先證ΔAMF是等腰直角三角形,由ΔABFΔADM(SAS)得RtΔBMF,根據勾股定理得到BM2+2AM2=DM2.

圖4-1

(2) 如圖4-2, 由ΔOPE的內心為M, 易得PM,OM是ΔOPE的角平分線, 求得∠PMO= 135°, 由角平分線的對稱性可得ΔPOMΔAOM(SAS) 得∠AMO=∠PMO= 135°, 所以內心M所經過的路徑長為弧AMO的長度.

圖4-2

圖4-3

問題4(續問題1: 2020 年廣州市中考第24 題)

(4)若點M,N分別在線段CA,CB上運動(不含端點),經過探究發現,點D運動到每一個確定的位置,ΔDMN的周長有最小值t,隨著點D的運動,t的值會發生變化,求所有t值中的最大值.

解析如圖2-1, 作點D關于直線AC的對稱點E,作點D關于直線BC的對稱點F, 可得DMN的周長=DM+DN+MN=FN+EM+MN,當點E,點M,點N,點F四點共線時,ΔDMN的周長有最小值,則連接EF,交AC于M,交BC于N,連接CE,CF,DE,DF,作CP⊥EF于P,所以ΔDMN的周長最小值為EF=t,由對稱性證CF=CD=CE,∠ACE= 2∠ACB=120°,再證EF==t,因此當CD為直徑時√,有最大值4,EF有最√大值即t的最大值為

圖2-1

評注問題3 保留了例題中的圖形結構,將圖形變換,圓周上的動點,讓圖形動起來,問(1)是探究線段關系,實質是問題2 的解法——旋轉的性質的再應用,教學中引導學生有意識的應用例題的方法,發展實踐能力;問(2)是動點軌跡問題, 主從聯動, 還要結合對稱性, 構造全等三角形發現定角,難度大大的增加,這種解法學生比較陌生,需要積累解題經驗,在解決難題的過程中,通過一步步的邏輯推理,感悟數學的嚴謹性,培養分析問題、解決問題的能力;問題4 是圓的綜合題,考查了圓的有關知識,等邊三角形的性質,軸對稱的性質等知識,靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵. 課堂中由于時間關系,并沒有涉及,留作課后的練習.

4 反思與總結

4.1 數學教學,要培養學生提出問題意識

本節課設計由學生自主設問,探究解答,初次嘗試發現不少學生不善于表達,不愿提出問題,雖如此,但也發現了不同層次的學生的參與度都有所提高,學生的積極主動性更強了;而智學網的作業平臺也能較好的輔助,使得這次任務順利達成. 傳統的教學中,師生都認為提問題是教師的責任,回答問題是學生的天職;在新的課程標準提出: 學生通過數學的眼光,在實際情境中發現和提出有意義的數學問題[1],所以在平時的教學中, 教師要有意識地培養學生提出問題意識,通過營造民主寬松的教學氛圍,使師生之間、同學之間形成良好的人際關系,營造自由學習氣氛,讓學生在課堂上敢說、敢問,敢于表達自己的見解. 另外布置作業要注重實踐與思考相結合,提出開放式問題,盡量給學生提供實驗、操作、思考、討論、提問的機會,拓寬學生提問的渠道,從多方面進行培養, 學生機會, 拓寬學生提問的渠道, 從多方面進行培養,學生的提問意識就會有改觀[3].

4.2 學生設問,立足教材,演繹精彩[3]

讓學生自主設問,提出合適的問題,不是胡亂編造怪題、難題,有意義的問題是要結合題目背景經過思考,并有依據有邏輯的說明命題正確,但又一時找不到解題思路,需與其他同學一起思考,交流討論后得出解題過程的問題,如例題中的第(3)問. 本節課取材于課本的經典問題,具有“入口寬、寓意深”的特點, 是教學的有效再生資源, 也是學生最為熟悉、貼近的素材,所編的5 個問題,融合了初中階段最為核心的基礎知識: 圓、等腰三角形、直角三角形、全等、相似、面積求法等,這樣編題的做法與中考命題“源于教材,高于教材”理念相吻合;從后面的變式中看到,區統考的試題、中考試題也選用這個經典問題進行改編,課堂變式將這些題整合成一個系列的題組,既有高立意的設計,又有低落點的規劃,有較強的針對性和實效性[3].

4.3 基于能力的發展,設計有效教學

有效的教學活動是學生學和教師教的統一,學生是學習的主體,教師是學習的組織者、引導者與合作者[1].傳統的數學課堂主要是解題,形式單一,思維容量很大,相對其他學科來說,是比較枯燥的,往往是思維較敏捷的學生的展示舞臺,師生對話更多的是面向思維好的學生. 特別是中考備考的復習課,有效的數學活動既能培養學生的思維能力,形成學生的核心素養,還能讓更多的學生參與;本節課的第一個數學活動是: 用課本題編題并讓學生一起分析探究,第二個活動是整合了經典的真題,進行變式,避免了機械重復的大量盲目解題,提高了解題效益,從而獲得最直接的解題經驗和思想方法,建構與完善學生學思維體系;通過提出問題、探究解決問題過程,促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能,獲得數學的基本活動經驗;課堂中立足于對問題進行全方位的剖析,揭示本質,體會和運用數學的思想與方法,也使學生真正體悟到數學真諦,逐步形成核心素養[3].