一類最值問題的多維探究及教學啟示

廣東省汕尾市陸河縣河田中學(516700) 向 超 李國振

以二元二次方程為約束條件,求二元一次(或二次)表達式的最值及取值范圍,是高考中的一個重要考點之一,也是高考數學命題的一個熱點與亮點, 備受高考命題者的青睞.本文以一次教研活動中主講人選用的一道經典例題為主線展開討論.

一、試題與解法探究

題目(由文[1]第58 頁習題5 改編)已知x＞0,y＞0,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.

從問題本質的角度理解,該題的特征是,以含有交叉項的二元二次方程為約束條件,求二元一次式的最值. 為了方便探究解法,我們先進一步明確變量x,y的取值范圍,由題目知2x+8y-xy=0,所以2x=y(x-8),8y=x(y-2),又因為x,y＞0,易得x＞8,且y＞2.

視角一: 利用經典不等式切入

視角二: 依據二次方程有解,從判別式Δ ≥0 切入

解法6(判別式法) 設x+y=t(t＞10), 則y=t-x, 代入已知等式2x+ 8y-xy= 0, 并化簡可得x2-(t+6)x+8t= 0, 因為關于x的方程有實數根, 所以Δ = (t+6)2-32t≥0, 解得t≤2(舍去), 或t≥18.將t= 18 代入x2-(t+6)x+8t= 0, 解得x= 12, 所以(x+y)min=18.

評注判別式Δ 與二次方程、函數、不等式有著千絲萬縷的關系, 猶如一對“情侶”. 一元二次方程的根的判別式不僅是重要的基礎知識, 而且也是一種常用的數學解題方法——判別式法. 這種方法在解題中有著廣泛的應用. 熟練掌握判別式法,可提高學生解題能力和知識的綜合應用能力.

視角三: 從換元的視角切入,化繁為簡

二、試題溯源

通過解法2 和解法3 我們易發現方程2x+8y-xy=0在平面直角坐標系中表示等軸雙曲線. 具體如下:

所以該題的幾何背景是在雙曲線上找一點使得橫、縱坐標之和最小,在解法6 中,當t=2,或t=18 時,得到直線方程x+y=2,與x+y=18 剛好是雙曲線2x+8y-xy=0的兩條切線(如圖1).

圖1

事實上, 形如ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0(其中a,b,c不同時為零)的方程所表示的曲線, 叫做二次曲線, 包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及退化的二次曲線(兩條直線等), 經旋轉變換(參見[2]中的第53 頁)和左右、上下平移變換總能轉化為我們熟悉的圓錐曲線的標準方程.在解法探究中出現的經典不等式法、判別式法、換元法是解決二次曲線限定條件下的二元一次(或二次)最值這類問題常用且有效的三招.[2]

三、鏈接高考

例1(2018 年高考江蘇卷理科第13 題)在ΔABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, ∠ABC= 120°, ∠ABC的平分線交AC于點D,且BD= 1,則4a+c的最小值是____.

分析在ΔABC中, 由等面積法易得a+c-ac=0(a,b＞0),所以本題的本質是二次曲線限定條件下的二元一次式的最值問題,利用解法探究中的8 種方法,均可順利完成該題,但需要注意的是,我們首先要能夠從幾何模型中抽象出代數等量關系.

例2(2022 年新高考Ⅱ卷第12 題) 若x,y滿足x2+y2-xy=1,則( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

分析首先我們來研究x+y的取值范圍. 由于約束條件不同,所以解法探究提到的8 種方法并不都適合該題,但判別式法(切線法)、三角換元法、對稱換元法仍適合該題,在這里不再贅述.下面介紹一種新的方法來解答x+y的取值范圍.

圖2

圖3

四、教學啟示

明代思想家馮夢龍說過:“兵貴于精,不貴于多. ”同樣的道理,學貴于精,量不在多,寧缺毋濫. 因此,在高三教學過程中,要著重提升做題質量而非做題數量. 那么,如何提高訓練的質量呢? 筆者認為要做好以下三個方面:

1. 老師要跳入題海,學生應跳出題海. 在教學實踐中,教師往往需要在浩如煙海的題目中精選試題,只有老師做題多,見識多,達到爐火純青的境界,才能做到胸有成竹、融會貫通,應用于教學時,經典題型、例題才會信手拈來,才能帶著學生跳出題海,觸類旁通,化繁為簡.

2. 明確試題背景來源,解法規律和演變趨勢. 通過對試題背景的探究,我們可以做到精解一題、妙解一類,達到由例及類,舉一反三的目的,使學科素養固化于型、內化于心,有效達到質的飛躍.

3. 一題多解和多題一解. 一題多解與多題一解在教學中經常會涉及到,前者在于拓寬解題思路,發散思維,培養學生積極思考的素質,后者在于引導學生對同類題型進行歸納總結,提高解題能力. 本文對經典例題的深度分析,同一題目共提出8 種不同解法,幾乎涵蓋了高中各章節基礎知識,有效地幫助學生開闊其視野、培養學生應用實踐意識、貫通各章節之間的聯系. 在鏈接高考時我們又提出多題一解,尋找多個題目的共性,總結出通解通法,引導學生學會總結歸納,提升其解題效率和數學思維.