極點(diǎn)極線視角下對(duì)一道模考題的探析、變式、推廣

安徽省蕪湖市第一中學(xué);新青年數(shù)學(xué)教師工作室(241000) 劉海濤

1 問題的提出

每一年高考結(jié)束,解析幾何解答題一直是一線教師及廣大考生津津樂道的問題之一, 原因在于該類問題的綜合性強(qiáng)、解法靈活、難度較大,常作為壓軸題或次壓軸題出現(xiàn). 筆者縱觀近些年的高考全國(guó)卷解析幾何解答題,發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)一部分試題是以高等幾何中的極點(diǎn)極線為背景命制的. 去年4月20 日的廣州二模解析幾何解答題,表面上看是調(diào)和點(diǎn)列背景問題,但筆者經(jīng)過深入分析,發(fā)現(xiàn)該題實(shí)為極點(diǎn)極線背景問題. 基于此,筆者從不同角度探析該道試題,并將其變式拓展到一般化情形,最后給出極點(diǎn)極線的背景介紹.

2 題目的呈現(xiàn)與分析

題目(2022 年廣州二模第21 題) 已知橢圓C:的離心率為,短軸長(zhǎng)為4.

(1)求C的方程;

(2)過點(diǎn)P(-3,0)作兩條互相垂直的直線l1和l2,直線l1與C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A,B,在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足,直線l2交y軸于點(diǎn)R,求ΔPQR面積的最小值.

分析該題第(1) 問屬于常規(guī)問題,C的方程為,此處不再贅述.

第(2)問考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、線段長(zhǎng)度與比例、動(dòng)點(diǎn)的軌跡、三角形面積等知識(shí),綜合性強(qiáng)、解法靈活、難度較大,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 表面上看該題以調(diào)和點(diǎn)列為背景命題,但動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡實(shí)為點(diǎn)P關(guān)于橢圓C的極線(位于橢圓C的部分),即該題的命題背景實(shí)為極點(diǎn)極線.

3 題目的探析與評(píng)注

圖1

評(píng)注《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出:“高考要求學(xué)生能夠觸類旁通、融會(huì)貫通,既包括同一層面、橫向的交互融合,也包括不同層面之間、縱向的融會(huì)貫通”[1]. 在解題教學(xué)過程中, 對(duì)于一些典型問題, 如果我們能夠從不同角度思考, 尋求不同的解法, 以一題多解的方式尋求知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)體系,加深對(duì)問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí),定會(huì)拓寬解題視野,發(fā)散解題思維,提升學(xué)習(xí)興趣,提高解題能力[2]. 思路1 屬于常規(guī)解法,聯(lián)立直線與橢圓方程,得到兩交點(diǎn)A,B橫坐標(biāo)的關(guān)系式(韋達(dá)定理), 根據(jù)弦長(zhǎng)公式用橫坐標(biāo)表示,化簡(jiǎn)得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為定值,得動(dòng)點(diǎn)Q在定直線上,另外這里我們還可以設(shè)直線l1的方程為x=my-3,與橢圓C的方程聯(lián)立后得到關(guān)于y的方程,在運(yùn)算上會(huì)稍簡(jiǎn)捷一些. 思路2 和思路3 均為設(shè)點(diǎn)法,將線段等比例轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘關(guān)系來表示,思路2 屬于定比點(diǎn)差法,思路3 屬于同構(gòu)方程法. 事實(shí)上,解題中我們遇到點(diǎn)共線且線段成比例時(shí),均可以考慮轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘形式,進(jìn)而利用坐標(biāo)解題,至于定比點(diǎn)差法還是同構(gòu)方程法,兩法各有優(yōu)劣,讀者還需在日常學(xué)習(xí)中慢慢體會(huì),這里不再贅述,可參考文獻(xiàn)[3]和[4]. 對(duì)于ΔPQR面積的表示,筆者給出了5 種方法,方法1 和5 表示為關(guān)于直線l1的斜率k的表達(dá)式,方法2 表示為關(guān)于直線l1的傾斜角θ的表達(dá)式,方法3 和4 表示為關(guān)于線段長(zhǎng)度的表達(dá)式,最后除方法2 利用三角函數(shù)的有界性得到面積的最小值外,其余4 種方法均借助基本不等式(或柯西不等式)求得面積最小值,這里我們要弄清取等條件.

4 題目的變式探究與一般化推廣

5 極點(diǎn)極線背景介紹

5.1 圓錐曲線的極點(diǎn)與極線的定義

已知曲線Γ :Ax2+Cy2+ 2Dx+ 2Ey+F= 0(A2+C2?0), 稱點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F= 0 是圓錐曲線Γ 的一對(duì)極點(diǎn)和極線.

對(duì)于具體的圓錐曲線,有如下極點(diǎn)與極線方程:

5.2 圓錐曲線的極點(diǎn)與極線的性質(zhì)[6]

定理1已知點(diǎn)P(x0,y0) 和直線l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0 是圓錐曲線Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 (A2+C20)的一對(duì)極點(diǎn)和極線,

(1)若極點(diǎn)P在曲線Γ 上,則極線l就是曲線Γ 在點(diǎn)P處的切線;

(2)若過極點(diǎn)P可作曲線Γ 的兩條切線,M,N分別為切點(diǎn),則極線l就是直線MN;

(3)若過極點(diǎn)P的直線與曲線Γ 相交于M,N兩點(diǎn),則曲線Γ 在M,N兩點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)Q在極線l上;

(4)若過極線l一點(diǎn)Q可作曲線Γ 的兩條切線,M,N分別為切點(diǎn),則直線MN必過極點(diǎn)P.

證明(1)由點(diǎn)P在曲線Γ 上,得,則曲線Γ 的方程可以寫成

聯(lián)立

得A(x-x0)2+C(y-y0)2=0,有唯一解(x,y)=(x0,y0),所以極線l就是曲線Γ 在點(diǎn)P處的切線.

(2) 設(shè) 點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2), 則 由(1) 知 曲 線Γ 在M,N兩點(diǎn)處的切線分別為Ax1x+Cy1y+D(x+x1)+E(y+y1)+F=0,Ax2x+Cy2y+D(x+x2)+E(y+y2)+F=0,因點(diǎn)P(x0,y0)為兩切線的交點(diǎn),所以

易知(x1,y1),(x2,y2)是方程Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0) +F= 0 的兩解, 則直線MN的方程為Ax0x+Cy0y+D(x+x0) +E(y+y0) +F= 0, 即極線l就是直線MN.

(3)設(shè)Q(s,t),由(2)知直線MN的方程為Asx+Cty+D(x+s)+E(y+t)+F= 0,又直線MN過點(diǎn)P(x0,y0),則Asx0+Cty0+D(x0+s)+E(y0+t)+F= 0,故兩條切線的交點(diǎn)Q在極線l上.

(4)設(shè)Q(s,t),則Ax0s+Cy0t+D(s+x0)+E(t+y0)+F=0,由(2)知直線MN的方程為Asx+Cty+D(x+s)+E(y+t)+F=0,則極點(diǎn)P(x0,y0)在直線MN上,即直線MN過極點(diǎn)P.

定理2(配極原則)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ 的極線經(jīng)過點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q關(guān)于圓錐曲線Γ 的極線也經(jīng)過點(diǎn)P. 反之,也成立.

證明設(shè)Γ :Ax2+Cy2+ 2Dx+ 2Ey+F= 0(A2+C20),P(x1,y1),Q(x2,y2),點(diǎn)P,Q關(guān)于E的極線分別為lP:Ax1x+Cy1y+D(x+x1)+E(y+y1)+F=0,lQ:Ax2x+Cy2y+D(x+x2)+E(y+y2)+F=0,點(diǎn)P的極線經(jīng)過點(diǎn)Q?Ax1x2+Cy1y2+D(x2+x1)+E(y2+y1)+F=0?點(diǎn)Q的極線也經(jīng)過點(diǎn)P.

推論(1)共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn),即兩點(diǎn)連線的極點(diǎn)是此二點(diǎn)極線的交點(diǎn);(2)共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線,即兩直線交點(diǎn)的極線是此二條直線極點(diǎn)的連線.

證明(1)設(shè)兩點(diǎn)A,B連線的極點(diǎn)是P,即點(diǎn)P的極線經(jīng)過A,B兩點(diǎn),由配極原則知點(diǎn)P的極線經(jīng)過點(diǎn),即點(diǎn)是此二點(diǎn)極線的交點(diǎn);

設(shè)直線l1,l2的交點(diǎn)P的極線是l,即直線l的極點(diǎn)P是直線l1,l2的交點(diǎn),由配極原則知直線l1,l2的極點(diǎn)均在直線l上,即直線l為此兩條直線極點(diǎn)的連線.

6 命制變式問題,鞏固深化理解

變式1設(shè)橢圓C:x a22+y b22= 1 (a＞b＞0) 過點(diǎn)M(2,1),且左焦點(diǎn)為F1(-2,0).

(1)求橢圓C的方程;

(2) 當(dāng)過點(diǎn)P(4,1) 的動(dòng)直線l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,B時(shí), 在線段AB上取點(diǎn)Q, 滿足|AP|·|QB| =|AQ|·|PB|,證明: 點(diǎn)Q總在某定直線上.

變式2設(shè)橢圓C:x a22+y b22=1 (a＞b＞0),已知橢圓的短軸長(zhǎng)為22,離心率為2 2 .

(1)求橢圓的方程;

(2)點(diǎn)P為直線x= 4 上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與橢圓C相交于不同的A,B兩點(diǎn),在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|,證明: 點(diǎn)Q總在一條動(dòng)直線上且該動(dòng)直線恒過定點(diǎn).

變式3已知雙曲線的離心率是,實(shí)軸長(zhǎng)是8.

(1)求雙曲線C的方程;

(2) 過點(diǎn)P(0,3) 的直線l與雙曲線C的右支交于兩不同點(diǎn)A和B, 若直線l上存在不同于點(diǎn)P的點(diǎn)D滿足|PA|·|DB| = |PB|·|DA|成立,證明: 點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值,并求出該定值.