數(shù)學(xué)競賽中的二項(xiàng)式定理問題歸類解析

安徽省樅陽中學(xué)(246700) 王 華

長沙市周南梅溪湖中學(xué)(410205) 朱賢良

二項(xiàng)式定理又稱牛頓二項(xiàng)式定理(1664 年提出),在中學(xué)數(shù)學(xué)中可以算得上一個(gè)“另類”的重要內(nèi)容. 說它“另類”,是因?yàn)槎?xiàng)式定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中顯得相對較為獨(dú)立;說它重要,是因?yàn)樗醋猿踔卸囗?xiàng)式相乘, 同時(shí)又是二項(xiàng)分布的基礎(chǔ).在歷年高考、預(yù)賽與聯(lián)賽試題中,二項(xiàng)式定理是考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一,常以客觀題形式出現(xiàn),注重考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù),有時(shí)還與其他數(shù)學(xué)知識交匯考查,解法較為靈活. 本文結(jié)合近些年的預(yù)賽與聯(lián)賽試題,對二項(xiàng)式定理問題的常見命制角度予以歸類.

1. 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

2. 代數(shù)式變形

3. 多項(xiàng)式相乘

4. 拆項(xiàng)

5. 并項(xiàng)

6. 二項(xiàng)式系數(shù)(組合數(shù))的性質(zhì)

7. 系數(shù)之和

8. 系數(shù)的最值

9. 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

10. 與其他知識的交匯