關于解三角形的一點困惑

華南師范大學附屬中學(510630) 周建鋒

一、問題的提出

談到解三角形,這是三角函數中重要的一個模塊,是三角與幾何相結合的一個經典案例,無論是高考還是實際生活中的應用,都是經久不衰的熱點話題. 有關解三角形的文章數不勝數,但多數集中于解題研究或者思維方法等方面的討論,對確定一個三角形的基本條件及其背后的理論依據卻少有人提及. 文[1]提到了在已知兩邊及一邊對角時,用正弦定理求解和用余弦定理求解之間的等效性,文[2]提到了用方程的思想來求解三角形,文[3]討論了正余弦定理的獨立性,但論述不夠完整,應當由正余弦定理的6 個公式中的任意2個,都能推導出其余的4 個公式. 在數學教育越來越關注學生核心素質的時代,對理論的深入探索也應當受到大家的關注.

從解方程的角度而言,用正弦定理和用余弦定理解三角形的等效性如何? 三角形的三條邊三個角,共有6 個變元,需要有6 個獨立的方程才能解出. 我們知道至少要知道3 個變元值(三邊、兩邊一角、兩角一邊)才能解出三角形,因而除了三個內角和為180°,還需要兩個獨立的方程. 而三角形的正弦定理、余弦定理分別有3 個等式,它們都是可以各自獨立推導出來的,它們之間是否有內在的邏輯關系,是否意味著只有兩個獨立的等式,其余的都可以由其中的兩個等式推導出來? 這些問題一直困擾著我們,讓我們來一一揭開它們的神秘面紗.

二、正弦定理、余弦定理的等效性

(一)已知兩邊及一邊對角時,用正余弦定理求解是否等效?

例如ΔABC中,已知角B(銳角),邊b,c,求邊a. (當角B為直角或鈍角時,三角形不可能有兩解,不在討論之列.)

(二)已知兩邊及夾角時,用正余弦定理求解是否等效?

(三)已知三邊時,用正余弦定理求解是否等效?

(四)已知兩角一邊時,用正余弦定理求解是否等效?

例如ΔABC中,已知角A,B,邊a,求邊b,c.

此時用正弦定理求邊最快捷, 但用余弦定理也能求解:已知A,B,則角C也已知,由兩式相加, 可得a=bcosC+ccosB. 同理,b=acosC+ccosA,兩式聯立即可求得b,c.

至此,我們得知,在求解三角形時,無論用正弦定理還是用余弦定理, 均可求解. 只是某些情形下(如已知兩角及一邊)用正弦定理更快捷,在某些情形下(如已知三邊或兩邊及夾角)用余弦定理更快捷,在某些情形下(如已知兩邊及一邊對角)用正、余弦定理均較為快捷.

三、正弦定理、余弦定理的獨立性

通過對正、余弦定理等效性的分析,讓我們確信,正、余弦定理的六個公式之間是有邏輯關系的,下面我們來論證這一點.

(一)由余弦定理的兩個公式導出正余弦定理其余公式

(二)由正弦定理的兩個公式導出正余弦定理其余公式

(三)由余弦定理的一個公式和正弦定理的一個公式導出正余弦定理其余的公式

四、結束語

從前面的論述可以看出: 在求解三角形時,用正弦定理或用余弦定理是等效的;正余弦定理中的六個公式,由其中的兩個公式即可導出其余的四個公式,也即只有兩個公式是獨立的. 所以,我們在解三角形時,在理論上更加明確: 給出三角形的三個條件,再結合內角和為180°,所有正余弦定理公式中選擇其中的兩個,即可解出三角形. 我們引導學生在理論上站在一個更高的起點,對解三角形的問題就有一個更加清晰的認識,這對進一步提升學生的數學核心素養有十分重要的意義.