對一道典型的平面向量模最值問題的求解與教學(xué)啟示

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 周正華

本人在必修二平面向量的教學(xué)中遇到如下問題:

問題已知,求|b|2的最大值.

一. 問題解法和探究

這是一道非常具有教學(xué)價(jià)值的向量問題, 經(jīng)筆者探究,得到如下解法:

角度1: 平面向量的幾何表示

以a為基礎(chǔ),構(gòu)造b的幾何圖象. 因?yàn)?

利用平面向量減法的幾何表示, 將題中所有向量平移到相同的起點(diǎn)O, 作出. 如上圖,,則

角度2: 橢圓(旋轉(zhuǎn)后)上動(dòng)點(diǎn)的距離問題

角度3: 齊次化后判別式法

角度4: 配方后基本不等式法

角度5: 拉格朗日乘數(shù)法

二. 教學(xué)啟示

波利亞曾指出:“好問題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地生長,找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)在周圍找找,很可能附近就有好幾個(gè). ”因此在教學(xué)中,對于一些好的問題,我們要認(rèn)真鉆研,盡量從不同的角度去思考問題,適當(dāng)進(jìn)行一題多解,以加強(qiáng)對知識(shí)和方法的深刻理解與運(yùn)用.

除此以外,在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課或習(xí)題與例題課的教學(xué)中應(yīng)該注意以下幾點(diǎn):

1. 強(qiáng)調(diào)通性通法,淡化數(shù)學(xué)技巧

數(shù)學(xué)高考重視對通性通法的考查. 通性通法的解題思想符合人的一般思維規(guī)律,為多數(shù)學(xué)生所接受,便于學(xué)生的理解和掌握. 在教學(xué)中教師應(yīng)注重對學(xué)生進(jìn)行合理的啟發(fā)和引導(dǎo),不刻意強(qiáng)調(diào)一些巧解和妙解,多研究通性通法,淡化數(shù)學(xué)技巧. 比如導(dǎo)數(shù)中的分類討論,盡管利用分類討論求解問題往往會(huì)比較繁瑣, 但是這是解決含參函數(shù)問題的通性通法,我們在復(fù)習(xí)的時(shí)候必須予以重視. 數(shù)學(xué)中有很多解題技巧,這些技巧雖然也值得我們掌握,但是我們不能過分依賴這些技巧,比如下面這樣一道題:

設(shè)x∈R,對于使x2-2x≥M恒成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最大值-1 叫做x2-2x的下確界,若a＞0,b＞0,且,則2a+b的下確界為____.

這道題能正確求解的學(xué)生不多,究其原因是受到基本不等式中“1”的代換這個(gè)技巧的影響,但是這個(gè)技巧在這道題卻很難用上,觀察可得,從而,再利用基本不等式就很容易求解.再比如2020 年全國高考Ⅰ卷第22 題很多學(xué)生就陷入導(dǎo)數(shù)中的“端點(diǎn)效應(yīng)”這一技巧導(dǎo)致無功而返.

2. 適當(dāng)進(jìn)行一題多解訓(xùn)練

在數(shù)學(xué)的教學(xué)復(fù)習(xí)過程中,教師要充分發(fā)揮典型例題的教學(xué)功能,合理地通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“一題多解”的訓(xùn)練,盡量從多方面多角度去思考問題, 既讓學(xué)生鞏固了所學(xué)知識(shí),又增加了學(xué)生解題的靈活性,培養(yǎng)和提高了學(xué)生的思維能力.當(dāng)然在一題多解中教師要注重每一種方法的合理分析引導(dǎo),分析每一種方法蘊(yùn)含的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想,并對這些方法進(jìn)行對比和總結(jié). 比如含參函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,我們可以采用如下思考角度: 分類討論,分離參數(shù),分離函數(shù)(轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)), 分解變換(對于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題)……,這樣就有了更多的變通性,有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

3. 合理運(yùn)用變式教學(xué)

變式教學(xué)是指在教學(xué)過程中通過變更問題的非本質(zhì)特征、改變問題的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容, 有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問題中“不變”的本質(zhì),從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律的一種教學(xué)方式. 通過設(shè)置合理的變式教學(xué),能夠使學(xué)生更全面更深刻的認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)!