一道2022 年數學奧林匹克試題的多解探究及推廣

貴州師范大學數學科學學院(550025) 徐鳳旺 劉天明 成 敏

一、試題呈現

已知正實數a,b,c,d, 滿足a+b+c+d= 4, 求證:.

分析這是一道2022 年克羅地亞女子數學奧林匹克試題中的不等式證明題,該不等式的條件式子和結論式子結構對稱, 不等式的左邊的每一項的分子都是一個一次單項式,分母都是三次二項式,由整式組成,形式上具有數學的美感.本文擬對該不等式的證明方法及推廣做進一步的探究,與大家一起分享.

二、試題解析

三、試題推廣

(一)對不等式中所含的數字一般化

(二)增加不等式中未知數的個數

(三)改變不等式中未知數的冪

(四)改變不等式的結構形式

推廣是數學學習、數學研究和數學發展的重要手段和途徑. 在數學學習中,推廣可以加強對觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發現能力以及創新意識等的培養;在數學研究中,推廣可以加深對問題本身的認識和理解,可以產生新問題和新方法;在數學發展中,推廣可以引導數學發現,可以產生新定理和新理論[2].