素養導向下對非對稱韋達問題的解法探究

福建省南平市高級中學(353000) 應麗珍 江智如

1 問題提出

平面解析幾何是借助解析式進行圖形研究的幾何分支,它依托平面坐標系,通過代數語言認識曲線的性質,利用代數方法解決幾何問題,在高考中常以壓軸題形式出現,突出區分與選拔功能. 在探索定點與定值一類問題中, 我們常利用韋達定理求解有關x1,x2或y1,y2的對稱式問題, 如等,通常轉化為形式進行求解. 但對于x1,x2或y1,y2的非對稱式,無法直接利用韋達定理求解,考生無從下手,造成失分,甚為可惜. 為此,本文在素養導向、能力為重的原則指導下,從不同思維層次與能力水平,歸納總結非對稱韋達問題的有效解題思路與方法,借他山之石,幫助考生感悟解析幾何中蘊含的數學思想與方法,落實“一核四層四翼”的要求[1].

2 概念界定

如果把多項式f(x1,x2) 中的兩個變元x1、x2交換位置后,所得結果仍與原式相同,即f(x1,x2) =f(x2,x1),則稱f(x1,x2)為關于x1、x2的對稱多項式,簡稱對稱式[2]. 若f(x1,x2)?f(x2,x1),則稱f(x1,x2)為關于x1、x2的非對稱多項式,簡稱非對稱式. 本文探究的非對稱韋達問題界定為:“利用韋達定理求解非對稱式的一類問題”.

根據非對稱式的結構, 筆者將非對稱式歸納為五種類型[3]: (i)x1=λx2或y1=λy2; (ii)λx1y2=μx2y1;(iii)λx1+μx2+s= 0 或λy1+μy2+s= 0; (iv);(v) 圓錐曲線第三定義k1·k2=λ. 解題的策略是對表達式進行化簡處理,轉化為能夠利用韋達定理求解的對稱式,有助于發揮培養學生綜合應用數學知識觀察問題、分析問題和解決問題能力[1]的育人作用.

3 策略探究

3.1 類型1: x1 =λx2 或y1 =λy2 形式

3.2 類型2: λx1y2 =μx2y1 形式

圖1

評析本試題第(2)小問探索直線過定點的問題,這類問題的解題思路通常是依托直線的斜截式方程,利用韋達定理進行化簡消參,化簡過程是求解的困難之處,能夠考查考生數形結合思想和運算求解能力. 考生根據直線PA,PB方程的聯立,消參得到表達式: 3y1(x2-3) =y2(x1+3). 由于等式兩邊的系數不同,無法直接利用韋達定理求解,所以配湊轉化為對稱式,再利用韋達定理化簡求解,得到最終結果.整個求解過程全面考查解析幾何中解決問題的通性通法,對考生的邏輯思維能力、分析問題和解決問題能力有較高要求,體現課標中不斷提高實踐能力,提升創新意識的理念[4].

3.3 類型3: λx1+μx2+s=0 或λy1+μy2+s=0 形式

評析本試題第(2)小問通過關系,得到x1+2x2=3 非對稱式,符合類型3 結構,于是根據類型3 的解題策略,配湊得到2(x1+x2)2-9(x1+x2)+9+x1x2=0對稱式,利用韋達定理化簡得到關于k的一元二次方程,最終求出直線l的斜率,考查考生化歸與轉化思想和運算求解能力. 這類問題的思路是從對稱式入手,將非對稱式配湊成一元二次方程,依托一元二次方程相關知識進行求解,能夠考查考生基本數學素養、思想方法與能力[1]. 同時引導學生通過實例了解解析幾何的背景知識與內涵,通過直觀想象和代數運算,形成解決幾何問題思路,掌握幾何問題的通性通法[4],提高解決幾何問題的關鍵能力.

3.4 類型4:形式

評析本試題第(2)小問考查雙曲線的幾何性質和利用解析幾何思想方法解決幾何問題的能力. 考生通過聯立動直線,化簡得到交點M的坐標,再依據類型3 的解題策略配湊對稱式,得到最終結果. 這類問題的思路是消元化簡,以分式多項式為載體,考查考生扎實的運算求解能力,體現解析幾何的通性通法,對基礎性知識進行深入考查,加強教學與考試的銜接,促進考生數學綜合素養的提升.

3.5 類型5: 圓錐曲線第三定義k1·k2 =λ 形式

評析本試題第(2)(i)小問考查為定值問題,可以利用圓錐曲線第三定義,把比值轉化為4kAM·kBM,通過斜率的定義,轉化為類型4 求解,考查化歸與轉化思想. 同時本試題將圓錐曲線定義與斜率的相關概念有機結合, 重基礎,重知識點的自然綜合,重分析問題的能力和數形結合等數學思想方法的考查,將能力立意放在突出位置,為考生充分發揮水平提供廣闊空間. 類型5 實際上是類型4 的推廣與延伸,能夠引導考生把握研究對象的數學特征,感悟通性通法的數學原理和蘊含的數學思想[4].

4 在高考中的應用

5 結語

非對稱韋達問題的本質是化歸與轉化思想,我們可以依托韋達定理構造互化公式,將非對稱式結構轉化成對稱式結構處理,探索問題解決之道. 波利亞(George Polya)認為:“中學數學教育的根本目的是‘教會學生思考’”[5]. 在日常教學過程中,教師可以引導學生在認知及實踐活動中發展思考力,將對稱式韋達定理與非對稱式韋達問題之間的關系理解透徹[1],并依據學生的認知水平設計“精致練習”[6],通過曲線方程、代數變形、和積關系轉換等方法,讓學生在“潤物細無聲”[7]中掌握非對稱韋達問題的通性通法,為學生展示能力、發揮水平提供廣闊的平臺[8],促進數學素養和關鍵能力的提升.