發展學生思維能力 提升數學解題效率

摘 要：解題是學生必備技能之一，解題能力體現了學生對知識的理解和掌握程度.文章以初中數學解題教學現狀為依據，從數學模型思想、轉化思想、化歸思想等不同層面分析提升數學解題效率策略，夯實學生數學基礎，發展學生思維能力，為更高層次數學學習奠定基礎.

關鍵詞：初中數學；解題教學；思維能力；解題效率；策略

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）20-0053-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：趙靜靜（1984.12-），女，安徽省蒙城人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.[FQ）]

與小學階段相比，初中數學知識相對抽象復雜，是學生學習的難點.縱觀初中數學解題教學現狀，普遍存在學生基礎知識薄弱、興趣不佳、抽象概括能力不足以及教師教學方式單一等問題，這些問題嚴重影響了解題教學質量.為此，數學教師應在新課程標準指導下，結合學生學情從多方面優化解題教學，切實提升解題教學效果，深化學生對所學知識理解，使學生養成良好的解題習慣，提高學生解題水平［1］.

1 巧用數學模型思想，提升解題效率

1.1 構建函數模型解題

在初中數學教學中，“函數”是重要的教學內容，它能夠反應出現實生活中變量之間的變化關系，在現實生活中有著廣泛的應用.如計劃決策、居民用電以及投資理財等，均可以構建相應的函數模型，完成問題的解決［2］.

例1 某個城市為了鼓勵居民節約用水，采取分段計費的方式，月用水量不超過20立方米時，按照每立方米2元收費，月用水量超過20立方米時，其中的20立方米依然按照2元每立方米計算，超出的部分按照2.6元每立方米計費.某學生家第一季度的用水情況如表1所示：

求解這名學生家本季度一共需要交多少水費？

解析 根據題意可知，采取分段計費的方式收取水費，需分別構建模型，根據用水量的不同，確定收費標準.因此，可以構建

分段函數模型.假設家庭的月用水量為x立方米，當用水量不超過20立方米時，需要交的水費為y1元，超過20立方米，需要交的水費為y2元，本季度總水費時y元，則y1=2x（0≤x≤20），y2=20×2+2.6（x-20）=2.6x-12（x>20），y是三個月水費之和.顯然，對每個月的水費進行計算，最終完成本季度水費的計算.

對于分段、分類型等問題，可以通過構建分段函數模型進行解題.在分段函數模型中，需要明確每個分段函數的定義域，根據題意準確構建模型.

1.2 構建幾何模型解題

幾何模型是中考數學中考查的重要內容，學生需熟悉并且靈活利用幾何模型解決問題，對學生空間想象能力要求較高.在數學教學中，教師需引導學生根據題目類型，構建相應的幾何模型，完成數學問題的解答，提高解題效率［3］.

例2 如圖1所示，△ABC是等邊三角形，AB=6，N是AB上的任意一點，∠BAC的平分線與BC相較于點D，M是AD上的動點，連接MB，MN，求MB+MN的最小值.圖1 例2題圖

解析 本題涉及到動點、最小值等知識，需要引導學生進行轉化，將其轉化成“兩點之間線段最短”問題進行解決.為此，教師可以讓學生思考“將軍飲馬”模型，讓學生對問題進行思考和解答.找出點B關于定直線AD的對稱點，即點C.當C，M，N三點在同一條直線上，且CN⊥AB時，MB+MN的值最小.如圖1，過C點作CE⊥AB，垂足為E，則MB+MN的最小值等于線段CE的長.

“將軍飲馬”問題是初中數學中常見的幾何模型，通過這樣的模型構建與轉化，完成了問題解答.在數學教學中，教師還應引導學生關注其他幾何模型，為問題解決指引方向.

1.3 構建方程、不等式模型解題

方程、不等式是將現實問題數學化的有效模型.利用其解決問題的基本思路是：根據題意尋找相等或不等關系，

然后，通過方程或不等式解決數學問題.現實生活中有很多相等或不等關系，如增長率、打折銷售以及工程問題等，利用模型思想，能夠準確找出其中的數量關系，設定合適的未知數，利用未知數表示數量關系，構建相應的方程或者不等式模型，從而有效解決問題［4］.

例3 某個商店計劃用1 200元購進A、B兩種型號的羽毛球拍，其中A型號的羽毛球拍進價是每副12元，B型號羽毛球拍的進價是每副10元，在銷售時，A的售價是15元/副，B的售價是12元/副，全部售完，獲利是270元.①求解A、B兩種型號的羽毛球拍各進了多少副？②如果該商店以原進價再次購進A、B兩種型號的羽毛球拍，A型號羽毛球拍數量不變，B型號羽毛球拍數量是第一次的兩倍，B型號羽毛球拍按照原來的售價銷售，A型號羽毛球拍則降價銷售，當兩種羽毛球拍銷售完，想要使得再次購進的羽毛球拍利潤不少于340元，A型號羽毛球拍最低售價是每副多少元？

解析 假設商店購進A型號羽毛球拍為x副，B型號羽毛球拍為y副，根據題意易得12x+10y=1200，（15-12）x+（12-10）y=270.

根據數量關系，構建方程模型，可求出購進兩種型號的羽毛球拍的數量.在完成問題①的解答之后，對問題②進行分析，根據題意構建相應的不等式模型，完成求解.

2 巧借數學轉化思想，提升解題能力

培養學生思維能力是數學學科的重要目標，尤其各種數學思想在提升教學效率和學生數學核心素養方面發揮著不可小覷作用.學生在小學階段已經歷數學學習并感悟數學學科的抽象化特征，升至初中階段需著重培養思維能力，養成良好思維習慣.轉化思想是初中數學重要思想之一，簡言之，運用轉化思想簡化學生理解知識和解題難度，提升學習效率［5］.從另一角度剖析，轉化思想即從不同角度將同一數學知識或問題轉化為易被學生理解的表達形式，激發學生深層次探究數學知識的欲望，最重要是幫助學生理解和掌握數學元素之間的邏輯關系，在解題中對所學知識展開深入思考，提升數學素養.

教師可從兩個方面為學生滲透數學思想：其一，換元轉化.該方式旨在化繁為簡，以變量問題為例，運用轉化思想可多個變量問題轉為一個變量問題，減小解題難度.同時，該方式還能減少計算量，將無從下手的問題轉至常規問題后再進行解答，增強分析與解答問題能力.

例4 若2x2+9xy-5y2=0，求xy的值？

如果學生運用一元二次方程方式解答上述問題則較為復雜，此時可引入換元轉化思想.設t=xy，方程2x2+9xy-5y2=0左右兩邊同時除以y2，則原方程轉化為2t2+9t-5=0，此時題目就轉變為常見的一元二次方程，學生易求得t1=-5，t2=12.從而可求得xy=-5或xy=12.

由此可以看出，轉化思想的應用有效降低了問題的難度，當學生發現轉化思想的獨特與便利之處后就可激發潛在持續學習數學興趣，在后續學習和解題中遇到相同問題也可順利解決.

其二，化同為殊.縱觀初中幾何問題，命題者給出的已知條件與所求量之間的邏輯關系較為隱蔽，學生需深入思考后通過添加輔助線解答，

使已知條件與所求量之間的邏輯關系外顯化，拓寬學生解題思維，提升學生解題能力.

例5 在△BCD中，∠C=60°，BC長度為6，BD的長度為8，求三角形的邊CD的長度.

如果學生運用初中數學知識解答上述題目則較為復雜，尤其題目可用信息相對較少，此時可通過添加輔助線，化難為易，使問題順利解決.

解題思路如下：在△BCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E.在△BCE中，易求得BE=33，CE=3.在△BED中，由BE2+DE2=BD2，易得DE=37.從而可知CD=CE+DE=3+37.

由此可見，在解答幾何問題時，添加輔助線可降低問題難度，即將多個難度較大的問題轉為較為簡單的小問題后再運用所學知識解決，提升解題能力.

3 巧用數學化歸思想，提升解題能力

顧名思義，“化歸”為轉化與歸納簡稱.數學中的化歸思想是指將較為復雜或抽象的問題轉化為較易被學生解答的簡單問題，或將未知轉為已知，將分式方程轉化為整式方程，將四邊形問題轉化為三角形問題，等等.化歸思想作為初中數學解題不可缺少的數學思想，在解決相關問題時運用其分析問題，能有效提升學生解題效率.縱觀初中數學解題，有很多方面都體現化歸思想，對此，教師可指導學生理解化歸思想，巧妙將該思想應用于數學解題.例如在解答不等式問題時就可運用化歸思想，提升解題能力.

例6 已知a3=b4=c5，試求a+2b+ca的值.

解析 在此問題中，雖然未知數的次數都是1，但是未知數的數量較多，采取常規解題方式比較復雜，教師可以引導學生利用化歸思想，對問題進行簡化，將多元轉化成一元.設a3=b4=c5=k，所以得出a=3k，b=4k，c=5k，將三個不同的未知量通過k表示出來，實現多元向一元的轉化，將a、b、c的值代入，得a+2b+ca=3k+5k+8k3k=163.

在以上解題中，有效利用化歸思想，將多個未知數用含同一個字母的代數式表示出來，對多元問題進行轉化，通過等元抵消，快速計算得出結果.

總之，在初中數學解題教學中，教師可指導學生基于不同角度思考和分析問題，改變思維定勢，靈活運用多種方式解決問題，提升解題效率，發展思維能力.教師指導學生運用多元解題技巧分析和解決問題，不僅能使學生學會應用所學知識與技能解決問題，而且能使學生對題目所涵蓋的知識形成深刻印象，提升數學學習效率，更能幫助學生掌握多元解題技巧，拓寬解題思路，實現舉一反三學習效果.

參考文獻：［1］ 花萌.基于創新思維能力培養的初中數學一題多解探索［J］.數學學習與研究，2022（30）：158-160.

［2］ 馬子健.逆向思維在初中數學解題教學中的應用探究［J］.科學咨詢（教育科研），2022（10）：210-212.

［3］ 王志萍.轉化思路 探索奧秘：初中數學解題教學中轉化思想的運用策略［J］.數理化解題研究，2022（08）：17-19.

［4］ 孫阿敏.在初中數學學習中培養辯證思維［J］.現代中學生（初中版），2021（24）：7-8.

［5］ 王福銀.初中數學解題教學中逆向思維的應用［J］.啟迪與智慧（中），2021（09）：41.

［責任編輯：李 璟］