幾何學有多強大

胡逸飛

幾何學的發展歷史橫跨數千年，從古埃及和古希臘的歐幾里得幾何，文藝復興時期的解析幾何和笛卡爾坐標系的引入，到19世紀黎曼、羅巴切夫斯基和波伊亞提出的非歐幾里得幾何，再到20世紀愛因斯坦廣義相對論的幾何解釋，以及現代拓撲學、微分幾何等領域的不斷擴展，幾何學一直在不斷發展，為人類對現實世界的理解提供了寶貴的工具和視角。

而在我們的日常生活中，幾何形狀無處不在，從自然界的美麗花朵到人類設計的建筑，再到浩瀚的宇宙結構，它們都遵循某種幾何規律。《幾何學的力量》一書深入探討了隱藏在各種現象背后的幾何學原理，提供了一個全新視角重新審視我們所了解的世界。書中展示了幾何學在現實世界中的力量，使我們認識到幾何不僅是一門學科，更是一種理解世界的獨特方式。

本書涵蓋了幾何學在信息、生物學、策略、民主等領域的應用，以及幾何學在藝術、哲學和教育中的重要地位。書中的實例豐富多彩，使得復雜的數學概念變得生動有趣。

此外，作者還通過龐加萊的“第四幾何（擠壓幾何）”這一概念，突顯了幾何學在物理學領域的重要地位。而第四幾何對洛倫茲時空研究的深遠影響，表明了幾何學在科學發展中所扮演的關鍵角色。

在洛倫茲時空中，光速被內置到幾何中，這與擠壓平面的概念有一定的相似性。擠壓平面可以看作是相對論物理學的一個簡化版本，它假設空間只有一個維度，而不是三個維度，與時間的一個維度結合形成二維時空。盡管龐加萊提出了第四幾何的概念，但他并沒有發展出相對論。

1905年，愛因斯坦從對稱性的角度推翻了物理學的傳統觀念，開創了相對論。隨后，數學家開始將愛因斯坦的時空理論轉化為幾何基礎。

德國數學家艾米·諾特在1915年建立了對稱性與守恒定律之間的基本關系，將一系列雜亂的計算整理成一個純粹的數學理論。諾特的理論為物理學和數學界奠定了堅實的基礎，她的貢獻被永遠銘記在科學史冊中。

在經濟學領域，作者講述了在金融數學和隨機過程領域作出開創性貢獻的法國數學家巴舍利耶，他在巴黎證券交易所觀察到債券價格波動，提議用數學方法來分析這些波動。盡管龐加萊對將數學分析應用于人類行為表示懷疑，但他最終對巴舍利耶的論文給予了高度的評價。

《幾何學的力量》一書中還講述了馬爾可夫鏈與香農信息論在通信技術領域的重要性。馬爾可夫最初專注于純粹的抽象概率論，對實際應用并不關心。最終他將自己的理論應用到了俄國詩人普希金的詩歌中。馬爾可夫對普希金的《葉甫蓋尼·奧涅金》進行了字母分析，發現輔音和元音之間存在特定的概率關系。

電子計算機的出現使得對文本的更復雜分析成為可能。谷歌研究總監彼得·諾里格使用了一個龐大的文本語料庫來計算字母之間的概率。他發現，英語中字母序列的出現頻率受到馬爾可夫鏈的影響。通過將文本視為字母或雙字母組序列，可以進一步了解英語文本的結構。

在此僅簡要介紹了其中幾個主題，事實上整本書包含的主題超過70個，揭示出幾何學在科學、技術和人文領域中的廣泛影響，并通過實例讓讀者感受到幾何學在日常生活中的實際應用。這既為專業人士提供了全新的視野和啟發，也讓普通讀者領略了幾何學的優美和強大。