分數“量”含義的學習路徑研究

金晶 周琪 孫瑞 鞏子坤

【摘? ?要】在利用“個”情境模型初步認識分數“量”含義的基礎上，探討了利用“米”“時”情境模型鞏固分數“量”含義的學習路徑：復習“個”情境模型—引入“米”“時”情境模型—鞏固分數“量”含義—應用分數“量”含義。結果表明，基于“米”“時”情境模型的分數“量”含義的學習路徑有效鞏固了學生對分數“量”含義的理解。可見，研究設計的學習路徑有助于學生體會分數產生的必要性，感受分數的本質，加深對分數“量”含義的理解。

【關鍵詞】分數；“量”含義；情境模型；學習路徑

一、引言

前文《分數“量”含義的學習路徑研究——基于“個”情境模型認識分數“量”含義》［1］通過三次教學設計、兩次教學實踐以及多次教學研討，最終得到了完善的學習路徑。在該學習路徑中，教師基于“個”情境模型，引領學生感受分數產生的必要性，體會分數本質，初步認識分數“量”含義。

學生對分數“量”含義的理解并非一蹴而就的，單純地通過“個”情境模型并不能讓學生深刻理解分數“量”含義。因此，本研究將在“個”情境模型的基礎上，開展分數“量”含義第二課時的教學。

整數知識是分數概念習得的基礎，是學生學習、理解分數概念的支撐，也是重要的認知“固著點”［2-4］。本研究充分發揮整數知識對分數學習的促進作用，選取與學生生活緊密相連、具有可操作性的“米”“時”情境模型，促進學生對分數“量”含義的進一步理解。具體而言，主要圍繞以下兩個問題展開：（1）如何利用“米”“時”情境模型，構建有效的學習路徑，從而促進學生對分數“量”含義的進一步理解；（2）如何在兩課時的分數“量”含義教學后，驗證本研究重構的學習路徑的整體效果。

二、研究設計

為了回答上述問題，繼續在杭州市YH小學三年級甲、乙班開展研究，SH小學的丙、丁班仍按正常教學進度開展教學。相關研究流程和分數概念理解類型［5］如前文，第二課時后測問卷如表1所示。

具體評分標準如下：畫圖正確得1分（直觀理解），其中第1題第（1）（2）小題畫圖正確各2分，第2題畫圖正確2分，共6分；大小比較正確得1分（符號理解），對應第1題第（3）小題；文字解釋合理得1分（抽象理解），對應第2題。總分為8分。依此給學生問卷賦分，并分別統計學生在直觀理解、符號理解、抽象理解上的得分。

三、研究結果與分析

（一）假想的學習路徑B1

1.路徑呈現

基于相關研究與前測結果，擬定假想的學習路徑B1，如圖1所示。

任務1從[12]個、[13]個比薩入手，復習鞏固“個”情境模型在分數“量”含義中的運用。

任務2分別以“米”“時”情境模型拓展學生對“量”含義的認識，讓學生感受到分數不僅出現在“個”情境中，在其他情境中也有“量”含義的分數。

任務3為了更好發揮整數知識作為認知固著點的作用，借助米尺和時鐘兩種教具，給予學生充分的機會和充足的時間去操作、體驗。具體教學片段如下，其中T是教師，S是學生。

T：我們請選擇米尺的同學來匯報一下，說一說他是怎么找到[12]米和[13]米的。

S：把米尺像這樣對折一下，就可以找到[12]米，在50厘米處（如圖2）。把米尺折成3段，就可以找到[13]米，大約在33厘米處。

由此可見，隨著米尺的引入，學生能夠通過折米尺找到[12]米、[13]米，并看著尺子說出50厘米、33厘米，而不是簡單地通過換算單位再作除法來解決問題。這不僅保證了學生能夠以整數知識為認知固著點來充分認識分數“量”含義，也有助于學生在后續學習任務中正確比較單位分數以及同分母分數的大小。

任務4承接任務3中的“對米尺和時鐘進行操作”這一任務，要求學生觀察自己所操作的材料，找到非單位分數并進行大小比較。

2.存在問題與改進建議

（1）學生自主思考時間較少

綜觀整個教學過程，不論是“米”“時”情境模型的引入，還是活動性任務的開展，都沒有給予學生太多思考時間。例如，“米”“時”情境模型都是由教師直接告知學生，而并非學生自己想到的，學生沒能很好地體會到分數“量”含義可以出現在多個情境之中。此外，學生在動手操作的過程中不僅能發現單位分數，也能找到非單位分數，但教師僅要求學生找到[12]米和[13]米、[12]時和[13]時，這在某種程度上束縛了學生的思維。

為此，教師可以只介紹“米”情境模型，并鼓勵學生以此為范例，思考還有什么單位也可以用[12]進行描述，進而聚焦到“時”情境模型。此外，教師設計活動性任務時可以更加開放，鼓勵學生以獨立思考、組內交流的形式，通過折一折、畫一畫、剪一剪，發現新的分數。

（2）任務無趣，課堂思維含量不高

盡管教學模型由“個”轉化為了“米”和“時”，但從學生的角度來看，只是換了個學習材料，略顯枯燥無趣。在課后訪談環節，許多學生反饋，分數的大小比較在上一堂課已經學過了，并不具有挑戰性。可見，本課時的思維含量并不高。

為了提高課堂思維含量，專家團隊建議教師在帶領學生比較單位分數以及同分母分數的大小后，鼓勵學生總結分數大小比較的規律。同時，可以增加應用思考題“1只貓和1只狗比，誰重”（如圖3），為學生提供將新的知識學以致用的機會。應用題能夠有效激起學生的好勝心，引導學生在通過分數解決并“說清楚”問題的過程中感悟分數的魅力，從而增強學生對分數“量”含義的理解。

（二）優化的學習路徑B2

1.路徑呈現

團隊經過研討，對學習路徑進行了優化，優化后的路徑如圖4所示。

與路徑B1相比，路徑B2的教學邏輯更加清晰，教學環節更加合理，學生的課堂表現也更加活躍，但仍存在可完善之處。例如，在小組匯報展示“時”情境模型時（任務3.1），有學生說：分針走一圈表示12個小時，將一圈平均分成12段，1段就是[112]小時。很顯然，這是不對的。這說明學生一開始就未明確“分針轉一圈表示1小時”，且教師并未糾正這一點。具體教學片段如下，其中T是教師，S是學生。

T：這個小組完成得很好，其他小組有找到不一樣的分數嗎？

S：我找到了[112]時。

S：分針轉一圈表示12時，一圈可以平均分成12段，1段就是[112]時。

為此，教師應當在“時”情境模型出現伊始，便強調“分針轉一圈表示1小時”，從而在學生心中牢固樹立這一觀點。

最終完善的學習路徑B3與學習路徑B2大致相同，不再詳述。

2.路徑效果檢驗

在路徑B1和路徑B2實施后，依次對甲、乙班學生進行后測，統計學生三種理解類型的得分率和班級平均分，其中乙班學生的班級平均分（6.87分）明顯高于甲班（4.80分）。獨立樣本t檢驗結果顯示，學生的直觀理解得分（t=1.355，p=0.182）不存在顯著性差異，符號理解得分（t=1.868，p<.05）、抽象理解得分（t=2.4766，p<.05）及班級平均分（t=-2.995，p<.05）存在顯著性差異。可見，路徑B2的效果優于B1，更有利于學生鞏固對分數“量”含義的理解。

四、學習路徑總體效果

為檢驗本研究重構的兩條學習路徑的總體效果，在實驗班授課結束兩周后，教師組織學生進行了綜合測試（題目來源于第一課時、第二課時后測，由5道大題組成，滿分17分）。其中3題來源于第一課時后測，共9分；2題來源于第二課時后測，共8分。同時進行了綜合測試分析和對照分析。其中，綜合測試分析是為了探查實驗班學生在后測與綜合測試中的得分變化情況，對照分析是為了探查實驗班學生和對照班學生在綜合測試中的差異。

（一）綜合測試分析

對實驗班學生的后測與綜合測試的得分進行配對樣本t檢驗（如表2），結果顯示，班級平均分（t=0.091，p=0.926）、直觀理解得分（t=1.201，p=0.232）與符號理解得分（t=0.933，p=0.968）均不存在顯著性差異，抽象理解得分（t=-1.867，p<.05）存在顯著性差異。

在這期間，實驗班學生未針對分數“量”含義進行作業鞏固，對上課內容會有一定程度的遺忘，因而測試得分會略低于學生最初學習分數“量”含義時的水平。即便如此，學生的直觀理解得分也并沒有出現明顯的退步，甚至符號理解的得分率還有所提升。相較而言，學生抽象理解的得分率出現了顯著性差異，這或許是因為學生在日常學習中，鮮少用抽象表征來表示分數“量”含義，從而導致得分有所退步。

綜上可知，本研究所設計的兩條學習路徑使學生對分數“量”含義有了深刻的理解，依據此學習路徑開展的教學是有效的。

（二）實驗班、對照班分析

對實驗班和對照班學生的綜合測試得分進行獨立樣本t檢驗（如表3），結果顯示，直觀理解得分（t=-1.254，p=0.173）不存在顯著性差異，班級平均分（t=3.605，p<.05）、符號理解得分（t=3.734，p<.05）與抽象理解得分（t=3.189，p<.05）存在顯著性差異。

可見，與現行教材設計的學習路徑相比，本研究設計的學習路徑更側重于培養學生的符號理解和抽象理解能力，這樣的教學有助于加深學生對分數“量”含義的理解。

五、研究結論與建議

（一）研究結論

在教學過程中，教師聚焦“米”“時”情境模型，依次帶領學生復習“個”情境模型、認識“米”“時”情境模型、鞏固分數“量”含義、應用分數“量”含義，不僅拓寬了學生的視野，發散了學生的思維，也加深了學生對分數“量”含義的理解。除此之外，動手操作環節充分調動了學生的多重感官，既允許學生大膽創造，也促進學生在大小比較中培養自身的語言表達能力，體會分數的本質特征。

第二課時后測結果顯示，與路徑B1相比，優化后的學習路徑B2效果更佳。綜合測試分析和對照分析結果顯示，實驗班學生并沒有出現顯著退步，且實驗班學生的成績顯著高于對照班學生的成績（當然，這樣的結果與實驗班注重分數“量”含義的教學直接相關）。這說明本研究重構的兩條學習路徑在幫助學生理解分數“量”含義方面發揮著重要作用。整體而言，基于“個”“米”“時”情境模型下的兩條學習路徑，依次帶領學生初步認識分數“量”含義、夯實鞏固對分數“量”含義的理解，有助于學生體會分數產生的必要性，感受分數的本質，加深對分數“量”含義的理解。

（二）研究建議

1.基于“米”“時”情境模型鞏固分數“量”含義

分數“量”含義的學習并非一蹴而就的，單純依靠“個”情境模型還遠遠不夠。選取貼近學生日常生活、便于學生動手操作的“米”“時”情境模型，有助于學生體會不同情境下分數“量”含義的內涵，鞏固對分數“量”含義的理解。

2.充分發揮整數知識作為認知固著點的作用

整數知識能促進學生更好地理解分數含義，是學生習得分數概念的基礎及非常重要的固著點。因此，教師應充分利用學生所學的整數知識，引導學生在整數知識的基礎上認識分數“量”含義。例如，在動手操作環節的材料選擇上，可以選取帶有刻度的米尺以及無指針的時鐘，并通過直觀的、具體的整數，幫助學生運用分數解決問題。

3.關注任務的活動性和提高課堂思維含量

學生的感性經驗是不可替代的，教師應盡可能讓學生通過動手操作與親身體會來理解分數“量”含義。例如，教師可以為學生提供米尺和時鐘等教具，讓學生通過折一折、畫一畫、剪一剪之類的操作，自主發現單位分數和非單位分數。此外，由于學生在“個”情境模型的學習中已經接觸了分數的大小比較，所以在“米”“時”情境模型的學習過程中，可以適當提高課堂的思維含量，如鼓勵學生總結分數大小的規律，設置應用思考題，從而引導學生感受分數“量”含義在不同情境中的運用，加深學生對分數“量”含義的理解。

參考文獻：

［1］ 鞏子坤，金晶，周琪，等.分數“量”含義的學習路徑研究：基于“個”情境模型認識分數“量”含義［J］.教學月刊·小學版（數學），2023（3）：52-57.

［2］ 劉春暉，辛自強.五—八年級學生分數概念的發展［J］.數學教育學報，2010，19（5）：59-63.

［3］楊伊生，劉儒德.兒童分數概念發展研究綜述［J］.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2008，21（6）：130-134．

［4］ 馬珂.分數概念的認識及其教學研究［D］.北京：首都師范大學，2014.

［5］ 鞏子坤.有理數運算的理解水平及其教與學的策略研究［D］.重慶：西南大學，2006.

（1.杭州師范大學經亨頤教育學院

2.浙江省杭州市觀成武林中學

3.浙江省杭州銀湖實驗小學）