經歷過程 探尋聯系

趙麗芳

【摘? ?要】數與形是數學研究的兩個重要方面，二者之間有緊密的聯系。在人教版教材六年級上冊《數與形》一課的教學實踐中，教師將教學重點放在引導學生親歷過程、探尋聯系上，讓學生經歷“以形助數，自主表征；溝通對比，建立聯系；數形互譯，融會貫通；回顧拓展，感悟外化”四個步驟，感悟數與形之間的關系。由此，提升學生的數形結合能力，發展學生的素養。

【關鍵詞】數與形；數形結合；圖形表征；數列

數與形是數學研究的兩個重要方面。華羅庚先生“數缺形時少直觀，形少數時難入微”的表達，形象地描述了數與形之間的關系。數形結合往往可將復雜的問題變簡單，將抽象的問題變形象，達到優化解題途徑的目的。學習中，學生需要親歷數形轉化的過程，在數形聯系的探究中發展思維，提升應用意識。

小學數學教材中體現數形結合的內容有很多，人教版教材六年級上冊的《數與形》是其中非常有代表性的內容之一。在這節課的教學中，教師要引導學生親身經歷數與形的溝通過程，讓他們主動探尋二者之間的聯系，從而體會如何“以形助數”“以數解形”，感受數與形之間的廣泛聯系。

一、基于教前分析，確定教學目標

教學前，教師需要從教學內容、學生情況兩方面出發，找準教學起點與終點，確定教學目標。

（一）教學內容分析

《數與形》一課由兩個例題組成。例1將“1+3+5+……+（2n-1）”與方格圖聯系起來，讓學生通過觀察圖，發現其結果可以直接用n2表示。例2借助正方形（單位1）的分割，聯系“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+……”與正方形不斷二分所形成的圖，讓學生同樣借助觀察發現結果。

如果按照教材呈現的方式，直接讓學生觀察、理解這兩題中數與形的關系，只要學生能夠體會到形的表征能讓這兩道題變得清晰、簡單，就已經達到了基本的教學要求。但若深入分析教材，會發現這兩幅圖均具有一定的“個性”，并非解決問題的“通法”，學生能夠在學習的過程中體會到數形結合的神奇，也容易陷入只有這兩道題或特殊的題目才適合采用數形結合的方法解決的誤區。如果不僅僅將體會“數形結合”的方法當作教學目標，而是更進一步，將引導學生主動采用“數形結合”的方法解決問題看作教學目標的話，就要讓學生在學習的過程中放慢發現的腳步，拓展學習的內容。如帶領學生思考：從1開始的連續奇數之和可以借助圖形找到答案，從2開始的連續偶數、從1開始的連續自然數等數列的和也能借助圖形找到答案嗎？這樣的思考，能夠幫助學生更加深入地分析數與形之間的關系，體會數形結合帶來的便利。

（二）學生情況分析

前測是分析學情的重要方式。筆者采用不給任何提示，直接讓學生求例1和例2兩道題結果的方式，對某班學生進行了第一次前測。前測結果表明：被測班級的45名學生，多數采用“算”的方法求算式的結果，很少有學生會想到借助“形”。計算例1和例2，學生的正確率分別是95%和80%。接著，筆者增加了“用圖形表征算式”的要求，以另一個平行班的45名學生為對象進行了第二次前測。從計算的結果上看，該班正確得出兩道題結果的人數均略高于第一個班級。其中，對例1的圖形表征，有9%左右的學生采用橫向擺放的“一字形”，80%左右的學生采用縱向擺放的“三角形”，11%左右的學生想到擺“正方形”。學生獨立用圖形表征例2時略感困難，但經過教師提醒，能用正方形、線段、圓形等圖形正確表征的學生達到了78%。

以上測試表明學生有較強的計算能力，有用圖形表示算式意義的基礎，但主動聯系數與形的意識不強。因此，教學中需要讓學生花更多的時間經歷主動探究過程，在自主解決問題的過程中獲得對數形結合思想方法的感悟。

（三）確定學習目標

針對以上分析，確定本節課的主要任務不是讓學生借助觀察“發現、應用規律”，而是讓學生在探究過程中，感受如何用數形結合的方式幫助自己解決問題，積累數形結合的經驗。因此，本節課的學習目標確定為以下三點。

1.通過數與形的對照，感受形能直觀表示數的規律，數能精確反映形的本質。

2.經歷探索數形之間聯系的過程，打通數與形之間的屏障，感悟數形結合的思想方法。

3.體會運用數形結合的方法解決較復雜問題的優越性，增強分析、觀察、解決問題的能力。

二、精準實施教學，引導學生親歷過程

精心設計的學習任務，能夠幫助學生探尋數與形之間、形與形之間、不同算式用同一圖形表征等的關系。教師在教學中要讓學生多思考、多表達，在不斷操作、觀察、試錯的過程中，打通“數”與“形”之間的“隔閡”，理解它們之間的關系。

（一）以形助數，自主表征

課始，教師出示學習任務：請用正方形學具卡片表示出“1+3+5+7+9”。

同桌合作用卡片擺“1+3+5+7+9”的圖形時，教師現場拍攝學生有代表性的“三角形”（如圖1）、“湊十”（如圖2）、“正方形”（如圖3）三種擺法，并逐幅展示、分析。

師：這三種方法你看得懂嗎？

學生均輕輕點頭。

師：它們有什么共同的地方？

生：它們都可以直觀表示數列，也都能很方便地呈現答案。

師：看來同一個數列可以用多種不同的形來表示。如果請你繼續用圖形表示出“1+3+5+7+9+11”，或者更多奇數的和，你會用哪種方法？

生：三種方法應該都可以。

本學習任務對學生來說不難，但教師給了學生獨立表征的時間與空間，讓學生可以有不同的表征方法。這是學生后繼溝通、比較的基礎。

（二）溝通對比，建立聯系

數與形之間有緊密的聯系，但數與形并不存在簡單的對應關系。能夠根據現實情況選擇不同的表征方式，是學生真正形成數形結合思想的重要標志。教師要引導學生充分經歷溝通對比的過程，幫助他們深入體會數與形之間的聯系。

1.多種表征，理解圖式

師：大家都有自己的猜想，很好！那就根據自己的想法，動手擺一擺吧。

學生在操作中，有小組用“三角形”擺法繼續擺，還在不斷討論著；有小組先用“湊十”的擺法，后來又調整為“正方形”或“三角形”擺法……

匯報時，教師問大家選擇哪種圖形繼續研究，全班同學選擇的圖形由原來的三種變為兩種。

生1： 我們原來用“湊十”法擺，隨著奇數越來越多，圖形變得沒有規律，像11要拆成10和1，這個1要和原來的5擺在一起，感覺越擺越亂。

生2：我們組原來用“三角形”法，奇數變大，只要在三角形的底部再加一層，就可以直觀表示數列了，但數越大，計算到底有幾層就越麻煩。

生3：我們對他們組（生2）有補充，因為是等差數列，所以層數=（11-1）÷2+1=6。

生4：聽了他們的發言，我們有個發現。由于第一個數是1，所以求這個數列的層數還有更簡便的方法，即層數=（1+11）÷2=6。

學生對這兩種方法進行討論后發現：兩種方法都可以，第二種比第一種更簡便。

生5：我們覺得“正方形”擺法更好。用這種擺法，多一個奇數就在外面增加一層“L”，讓原來的正方形變成更大的正方形就行了。這樣不僅可以直接看出數列，還可以很快算出答案。“1+3+5+7+9+11”就是邊長為6的正方形（如圖4）。

2.一式多圖，建立聯系

教師追問：大家認為“正方形”與“三角形”兩種圖形都可以直觀表示“1+3+5+7+9+11”以及更多連續奇數相加的和，其中有什么奧秘嗎？這兩種圖形之間有什么關系嗎？

生1：我們組研究用“正方形”表示，發現每加一個奇數就是在原來的正方形外面多加個“L”形。因為有重疊部分，所以這個“L”形表示的正方形數量就比兩條邊上的正方形數量少1，像“1+3+5+7+9+11+13”就是“（13+1）÷2=7”，答案“7”就表示這個數列可以拼成邊數為7的正方形。

生1團隊的發現引起了很多學生的共鳴，大家頻頻點頭。

師追問：為什么要先“+1”再“÷2”呢？

生2：“13+1”是變成新的正方形時，兩條邊上增加的正方形的總數，“14÷2”是新正方形的邊長。

生3：我來補充。這種方法還可以求更多奇數的和，如從1加到19，就是邊長為10的正方形。

教師根據學生的回答形成板書：“19→（19+1）÷2=10”。

生4：我們組研究用“三角形”表示，“三角形”圖也能幫助我們很方便地找到答案。找答案時最主要的是找到層數。層數=（頭+尾）÷2。

生5：我有個重要發現。用“三角形”和“正方形”兩種圖形幫助求和，方法其實是一樣的（如圖5）。用“正方形”幫助計算時，最后一個奇數加1，與用“三角形”幫助計算時的“頭+尾”是一樣的。“三角形”的層數就是“正方形”的邊數，比如：“1+3+5+7+9+11+13”用“三角形”表征時，層數=（1+13）÷2=7；用“正方形”表征時，邊數=（1+13）÷2=7。

生6：我聽明白生5的想法了。“正方形”每個“L”形拉直就是“三角形”的最后一層，“三角形”求和公式=（頭+尾）×層數÷2，其實就是（頭+尾）÷2×層數=層數×層數=邊數×邊數。

上述教學過程中，教師沒有直接聚焦教材中提倡的“正方形”擺法，而是給足學生時間，讓他們根據自己的意愿探索不同擺法與數列之間的關系。經過探究，學生理解了“三角形”擺法也就是等差數列求和法，從而將“正方形”和“三角形”兩種圖形聯結在一起，感受到方法的多樣性和共性，自然而然地加深了對“數”與“形”關系的感悟。

3.變式拓展，表征優化

類比是一種推理思維。以“從1開始連續若干個奇數的和”為基點，學生主動提出：“正方形”和“三角形”兩種圖形能表示“從2開始連續偶數相加的和”和“從1開始連續自然數相加的和”嗎？面對學生強烈的探知欲，教師不再提供實物輔助，而引導學生在頭腦中想象，再逐個討論解決。

學生發現，“三角形”擺法能表征“從2開始連續偶數相加的和”（如圖6），而按“正方形”擺法形成的圖形是“長方形”，如“2+4+6+8+10+12+14”會形成圖7。“三角形”與“長方形”擺法之間同樣存在聯系。

對于“從1開始連續自然數相加的和”，學生經過討論，發現“正方形”或“長方形”擺法都不能表示，只有“三角形”擺法可行。思辨后發現，“三角形”擺法是最適用等差數列的表征圖形。

以上教學，教師通過三個層次的學習活動，讓學生在不斷想象、對比、思辨中，對比、優化不同圖形的適用范圍，深刻體驗數與形之間的聯系。

（三）數形互譯，融會貫通

有了前面深刻體驗“以形助數”的過程，學生見到數式，不再局限于直接計算數式結果的方法，而會選擇用圖形來表示過程，看“圖”知結果。同樣面對形，學生會想到用數式來具體刻畫，從而初步感知“數形一體”，感受到數與形結合的美妙與和諧。

1.一式多圖，化繁為簡

教師出示“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]”，請學生快速求出結果，并寫出思考過程。在匯報時，教師驚喜地發現，采用“通分”方法算出答案的學生只有5人，其余學生均用正方形、線段、圓形等圖形表示算式的意義，并計算出結果。交流時，學生達成共識。用什么圖形不重要，只要確定一個圖形作為單位一，并將它二等分六次，去掉最后一小部分后，都可以表征這個數列，而且容易“看”出結果。

2.以數解形，數形互補

師：以正方形為例（如圖8），它可以幫助我們看出[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]的結果。在這幅圖中，你還能看出其他算式的結果嗎？

生：可以求空白部分是多少，也就是求1-[12]-[14]-[18]-[116]-[132]-[164]的結果。

師：同一個“形”中藏著不同的數的運算規律，真奇妙！如果在這個圖形的基礎上，再把空白部分均分，還能解決什么問題？你能寫出一個算式并算出結果嗎？

生：可以解決兩個問題，分別求涂色部分和空白部分是多少。算式分別為：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]、1-[12]-[14]-[18]-[116]-[132]-[164]-[1128]。

3.多圖比較，尋找共性

教師示本節課出現的正方形、三角形、長方形圖（如圖9），并提問：看著這些圖，你有什么想說的嗎？引導學生在觀察比較中進一步體會，借助圖形能直觀地表示出不同數列的意義，能直觀地得出計算結果。

（四）回顧拓展，感悟外化

溝通、聯系是重要能力。教師呈現一組學生曾經接觸過以及將要接觸的數與形材料（圖10），讓學生邊回憶邊思考“數與形有怎樣的關系”。

因為經歷了前面深刻探尋聯系的過程，學生回答的關鍵詞緊緊圍繞“密不可分”“相互依賴”“互幫互助”展開。當追問“數與形，哪個優勢大”時，學生一致認為“不分上下、各有各的優勢”“數可以幫助形變得精確”“形可以幫助數變得直觀”。至此，學生真正感悟到了華羅庚先生所說的“數形結合百般好，隔離分家萬事休”。

同樣的學習素材，若實施的教學目標、呈現的教學過程不同，也會給予學生不同的體驗、不同的收獲。《數與形》一課將側重點放在讓學生體驗數與形的內在聯系，加強數與形的溝通、形與形的溝通上，更有利于打破數與形之間屏障，真正讓學生意識到“數”與“形”之間的密切聯系，提升學生的數形結合能力，發展學生的素養。

參考文獻：

［1］劉加霞，劉琳娜.在認知沖突中體驗感悟數形結合思想的內涵與價值：兼評劉延革老師執教的“數與形”一課［J］.小學數學教師，2015（12）：49-52.

［2］潘紅娟.向更深處漫溯：特級教師劉延革《數與形》一課賞析［J］.小學教學設計，2017（1/2）：111-113.

［3］呂立峰.以數解形，讓數形結合思想更加豐滿：以人教版教材六年級上冊《數與形》為例［J］.教學月刊·小學版（數學），2022（10）：32-36.

（浙江省杭州市濱和小學）