積累用“份”度量的經驗 發展單位化思想

【摘? ?要】除法的本質是平均分。開展基于“份”的操作活動，有助于學生理解除法的意義。以浙教版教材“認識除法”單元為例，教師從目標引領、任務驅動和量規層次三個維度設計表現性任務，從“操作每份數，初步感知單位化；經歷等分除，建立單位化具象；比較倍關系，建立單位化表象；分出余數，運用單位化概念”四方面建立評價準則，從而分析學生對除法意義的理解水平，體現單位化思想在解決問題過程中的價值，為學生單位化思想的發展奠定基礎。

【關鍵詞】深度操作；表現性評價；單位化思想

除法意義的本質是平均分，平均分的結果——“每份數”，就是單位量。每份數既是平均分的結果，又可以作為平均分的標準，獲得每份數的過程（等分除）以及將每份數作為標準進行平均分（包含除）都蘊含著單位化思想。［1］33學生通過操作“份”的數學活動，積累用“份”度量“總數”的經驗，像這樣定義與操作單位的過程稱之為“單位化”［1］30，有助于學生理解除法意義。但是，要讓學生將等分除理解為“求總數里面有幾個幾”并不容易，這是除法運算意義教學的難點。［2］如圖1的題目，全班約25.6%的學生看圖列式的答案為18÷3=5……3，這是因為他們混淆了每份數和份數，沒弄清楚“除數3”究竟表示什么。

可見，學生未能很好地在用算式表示和實際理解的除法意義之間建立關系。那么，如何將除法的意義轉化為可視化的操作行為，幫助學生具象化理解“份”呢？本文采用基于問題驅動，讓理解可見化的深度操作學習模式［3］，從目標引領、學習任務和量規層次（將學生的行為、認知、態度與結果作為評價的標準）［4-5］三個維度設計表現性評價方案，依據浙教版教材二年級上冊的安排，按照“除法的認識—倍的認識—帶除除法的認識”的序列展開，在學生操作水平和除法意義的理解之間建立評價準則。

一、基于“份”的操作，設計表現性任務

（一）操作每份數，初步感知單位化

教師創設“裝盒出售水果”的現實情境，讓學生自主選擇不同類型的水果盒，通過拿2個、3個小方塊，在操作活動中建立單位量的具象。（如表1）

（二）經歷等分除，建立單位化具象

教師引導學生交流多種等分的方法，經歷調整分的操作過程，學會用數學語言表達一次分幾個、分了幾次也表示被除數里包含了幾個幾。像這樣獲得每份數的過程就是“單位化”的抽象過程。（如表2）

（三）比較倍關系，建立單位化表象

倍的認識源于比較。學生通過操作兩個量，建立1份數和幾份數之間的關系，學會用數學語言表達一個數是另一個數的幾倍就是有這樣的幾份，形成倍的表象，抽象倍的概念。（如表3）

在實踐操作的過程中，有的學生把9個方塊看作1份，再擺3份，表示27是9的3倍；有的學生把3個方塊看作1份，再擺3份，表示9是3的3倍；有的學生則把1個方塊看作1份，再擺3份，直接表示它們的3倍關系。教師接著引導學生思考：“6是2的幾倍，18是6的幾倍”等可以用哪種擺法來表示？這種擺法還能表示哪些數之間的關系？逐步抽象用“每份數”度量“多份數”的過程。

（四）分出余數，運用單位化概念

學生通過參與有余分物的活動，經歷均分后有剩余的過程，將抽象的數學規律轉化為形象的語言表達，運用單位化概念，以數解形［6］，理解余數問題，發展單位化思想。（如表4）

二、基于“份”的操作，分析學生單位化水平

通過操作活動，能否提升學生對除法意義的理解與應用？學生操作水平的差異能反映出他們思維層次的高低嗎？筆者選取兩個水平相當的二年級班級作為實驗對象，以表4中的學習任務的第2題為測試題進行對比實驗。對照班進行常規教學后采用紙筆測試；實驗班先讓學生利用小方塊開展操作活動，再采用紙筆測試。

（一）除法意義理解水平分析

為用除法意義解決問題的結果賦分，并進行獨立樣本T檢驗，結果如表5所示。

表5顯示，實驗班與對照班的前測均值分別為0.84分和0.93分，T值為-0.653，顯著性P值>.05，說明實驗班和對照班的前測數據不存在顯著差異。實驗班與對照班的后測均值分別為6.11分和4.30分，T值為3.822，顯著性P值<0.05，說明實驗班和對照班的后測數據存在顯著差異。具體差異表現在對“等分”意義的理解和應用上（如圖2），即經歷再“等分一次”這一單位化水平的差異。

實驗結果還表明，讓學生經歷操作活動，不但有利于他們理解除法意義，還能為進一步發展他們的單位化思想奠定基礎。第（1）小題，實驗班同時用包含和等分兩種方法來解決問題的人數明顯高于對照班。第（2）小題，說明“39÷5=6……9錯在哪里”時，實驗班學生能將等分的意義遷移到余數與除法的關系中，實施 “從9中取出5個再分一次” 的實踐操作，并說明理由。而對照班學生基本沒有出現將余下的9個再分一次的情況。

（二）單位化水平層次分析

筆者采用分析記錄單、視頻切片、訪談等形式還原學生的操作活動，對實驗班學生的單位化水平作了進一步分析（如表6）。

訪談發現，如何根據已知信息將研究問題轉化為操作行為，如何根據操作過程進行數學化表達，是基于“份”的操作活動中應重點關注的環節。

三、基于“份”的操作的教學思考與啟示

在對比實驗中，實驗班學生基于實際問題的解決，利用可視化學具的操作活動理解“每份數”“份數”之間的關系，經歷“幾個一份”“一次分幾個”這一單位化的操作過程，這有利于他們用數學語言表征“除法就是總數里包含了幾個幾”的本質。其中，調整均分的操作能有效幫助學生理解“等分”的意義。筆者對實驗班第（2）題出錯的15名學生進行訪談（如圖3）：“圖中的5表示什么意思？”除1名學生外，其他學生均回答平均分成5份，并能正確操作“從9中取出5個再分一次”的動作，將算式改寫成39÷5=7……4。而對照班學生基本沒有出現將余下的9個再分一次的情況。

類似地，小數、分數的除法運算也可以基于單位化操作，其運算意義的本質都是可以從單位化角度理解算理［8］。所以在后續學習中，還可以繼續開展基于“份”的操作活動，讓學生通過操作“小數塊”“分數塊”，理解以“小數”“分數”為單位來度量總數（如圖4），或以“多份數”為單位來度量“1份數”，如“1”是“3”的[13]等，進一步發展單位化思想，提升以單位化的方式認識世界的能力。

參考文獻：

［1］劉加霞，孫海燕.單位思想視角下小學數學內容本質與結構［J］.湖北教育（教育教學），2021（12）：30-32.

［2］朱國榮.把握運算的整體性與一致性：以“除法運算的意義和算法”教學為例［J］.小學教學（數學版），2022（7/8）：71-75.

［3］張君霞.深度操作，提升高階思維能力：《分數基本性質》教學實驗研究［J］.教學月刊·小學版（數學），2021（1/2）：94-97.

［4］周文葉.表現性評價：指向深度學習［J］.教育測量與評價，2018（7）：1.

［5］鐘志賢，王覓，林安琪.量規：一種現代教學評價的方法［J］.中國遠程教育，2007（10）：43-46.

［6］呂立峰.以數解形，讓數形結合思想更加豐滿：以人教版教材六年級上冊《數與形》為例［J］.教學月刊·小學版（數學），2022（10）：32-36.

［7］李經宇.余數在小學除法體系中存在的必要性［J］.中小學數學（小學版），2022（1/2）：69-70.

［8］劉加霞，孫海燕.單位化思想視角下的除法運算本質與教學建議［J］.教學與管理，2021（26）：56-58.

（浙江省杭州市勝利小學）