聚焦數學建模 釋放學習活力

［摘? 要］ 以學生發展為本，以建構線段法求最值活動為載體，讓學生用數學語言、數學方法等數學工具歸納出純關系的數學結構，體會數學建模思想，深諳數學建模活動內涵，養成建模習慣，形成創造性思維，釋放學習潛力，培養數學能力.

［關鍵詞］ 數學建模；線段法；最值問題

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2021年度教改專項課題“基于教、學、評一致性的中學數學實踐研究”（Fjjgzx21-221）.

作者簡介：王金水（1970—），中學高級教師，廈門市專家型教師，從事中學數學研究工作.

在減負增效、提倡個性、著重實用的今天，數學的應用價值、數學建模能力越來越受到重視. 數學建模將某一復雜的實際問題，運用數學思想方法描述、抽象、簡化，建立數量關系或空間關系，形成結構模型，在模型求解中不斷反復驗證完善，從而解決該類問題.

數學建模的本質就是以問題意識為引領，滲透模型思想，將數學生活化，學生在建模中逐漸學會發現問題，提出解決方案，形成創造性思維，養成數學應用意識，促進學生的全面發展，提高綜合能力. 數學建模是現實生活與數學之間的橋梁，實現數學與現實互通，促進理論與實踐相結合，是充滿個體“思維構造”的創造性活動. 因此，數學建模不僅是一種數學技術、一種思想方法、一種數學工具，也是一種實踐過程、一種創造思維. 其教學流程大致如圖1所示.

建模需要對所需要解決的實際問題進行刻畫，而實際問題往往因素眾多、錯綜復雜. 因此教學時，教師先要引導學生用數學眼睛觀察并認識實際問題情境，抓住現實問題的基本實質，根據其特有的內在規律，抽象概括成簡潔的數學問題，發揮學生的創造力；然后用恰當的數學工具和相關知識，用數學語言和方法，分析與描述各變量之間的數學關系［1］，進而建立數學模型尋求解法，再進行計算驗證，發展學生的內在動機. 建模過程不可能一蹴而就，要經過多次思考、檢驗，完善數學模型，以強化應用意識、創新意識，增強學習效果、科學精神.

因此，大力開展數學建模教學，已成為課堂變革的突破口和生長點. 怎樣把數學建模思想融入課堂教學，怎樣依據某種規律建立數學模型，怎樣利用數學建模解決實際問題，實現從一道題到一類題的飛躍，從而提升學生的思維能力與實踐能力［2］，是目前數學建模的研究主題. 筆者結合最值問題的探索，嘗試利用線段法建構一種純關系的數學結構，以期實現數學建模在課堂教學中落地生根，最終釋放學生的學習活力.

建構數學模型釋放學習潛能

模型一：動點在直線上的最值問題

問題1? （“將軍飲馬”問題）：白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河. 將軍在如圖2所示的點A處，現在他要牽馬去河邊飲水，之后返回軍營的點B處，將軍怎么走能使路程最短？

實際問題是建模的開端. 從“現實情境”轉化為“數學模型”，讓學生用數學語言描述模型，初步運用建模思想去審視、分析，進而解決實際問題.

生1：如圖3所示，上述問題可抽象為：點A與點B是河岸NM同側的兩定點，在河岸NM上找一動點P，使PB+PA的值最小.

生2：利用軸對稱性質，根據線段法，作A點關于NM的對稱點A，連接AB交NM于點P，線段AB的長即為PB+PA的最小值.

生3：也可以作B點關于NM的對稱點B，連接AB交NM于點P，線段AB的長即為PB+PA的最小值.

兩種解法都是線段法，通過簡化或結構化現實情境，不僅使數學知識回歸到現實世界，解釋現實問題，也實現了認知結構化.

問題2? 如圖4所示，若A點在NM上，其他條件不變，此時PB+PA的最小值又如何？

生4：將軍在河岸NM上，牽馬飲水后直接回軍營，線段AB的長即為所求的最小值.

生5：借鑒問題1，其實點A關于直線NM的對稱點就是它本身，此時P點即為A點.

讓學生多點“奇思怪想”，在分享彼此的想法和思路時，提升感悟關鍵信息的能力，創造一種積極思考、勇于探索的寬松氣氛.

問題3? 如圖5所示，若將軍在A處牽馬飲水后，沿河岸NM走了一段路程AP，再沿著PB回到軍營B，則P在NM何處能使PB+PA的值最小？

此問題承上啟下，引導學生樹立繼續建模的信心.

生6：把PA轉換成另一條新的線段是解決此問題的關鍵.

利用線段法建構一種純關系的數學結構是解決這一問題的關鍵.

生7：借助三角函數，我聯想到了sin30°=.

生8：如圖5所示，根據sin30°=，作∠MAK=30°，再作PD⊥AK于D，則PD恒為PA.

生（眾）：由圖5可知，當BC⊥AK于C時，PB+PD≥BC，故當動點P在Q點的位置時，PB+PA的最小值即為BC的長.

生9：可以發現，只要題目改成PB+PA（n>1）的模型，解決策略都與生8的類似，即構造sin∠MAK=.

生10：此問題可歸納成在一線上找一動點P到線外一定點B的距離與線上另一定點A的距離的之和最小的問題.

生11：這種模型的解決策略就是把折線問題轉化成直線問題，再運用線段法求最值.

學生經過充分思考、討論、嘗試，最終用一個符號系統去表征原型，發展了處理信息及歸納思維的能力. 在模型求解中，形成了一套關于數學的描述，促使學生高水平的智力參與，提高了學生的數學思維品質［3］.

提升建模素養不僅需要反思和交流，也需要問題和情境. 當然，還需要檢驗、修正與完善.

問題4? （應用）如圖6所示，已知一次函數y=kx-2的圖象與x軸相交于點A（-2，0），與y軸相交于點B，點P的坐標為（0，m）. 求PA+PB的最小值.

明確建模方向，應用模型思想，構造相應的數學結構.

生12：本題符合PB+PA（n>1）的模型，根據其解決策略，把·PA+PB轉化成

PA+PB，只要求出PA+PB的最值即可.

生13：建構線段法求最值的模型，我聯想到了sin45°=.

生14：如圖7所示，作∠OBC=45°，再作AH⊥BC于H，與y軸相交于點P. 線段AH的長即為PA+PB的最小值.

生15：△AOP與△BHP均是等腰直角三角形，由AO=2，OB=2，可得AP=2，PB=2-2，PH=，此時PA+PB=·

PA+PB=AH=·（AP+PH）=×［2+×（2-2）］=2+2.

生16：還可以由BH=，AB=4，AH⊥BC，以及勾股定理得AH=+. 所以PA+PB=AH=2+2.

反復建模檢驗，促使學生有意識地從不同的角度思考優化解決辦法，以提高解模的能力.

生17：能不能直接把PA轉化成其他線段？

這又是一個思路，轉化PA的問題再次喚醒了學生的思考動機.

生18：由等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍，可把PA當成等腰直角三角形的斜邊.

生19：如圖8所示，作CA⊥AP，取CA=PA，連接PC，則△PAC為等腰直角三角形，有PC=PA. 此時，問題轉化成求PC+PB的最小值.

生20：作CQ⊥y軸，垂足為Q. 根據PC+PB≥BQ，當點C與點Q重合時，線段BQ的長即為PA+PB的最小值，此時△PAQ為等腰直角三角形，OP=OQ=OA=2，所以PA+PB的最小值為BQ=OQ+OB=2+2.

此解決方法之巧，主要是建立了一個結構模型，用了一個簡潔的數學結構替代原型，體現了創造性思維. 事實上，數學建模是揭示事物內在的運行方式，數學建模能力影響著問題解決的成效.

模型二：與曲線有關的最值問題

問題5? （動點在曲線上的模型）如圖9所示，已知☉O的半徑為6，OB=9，定點A在☉O外且不在OB上，在☉O上找一個動點P，使得PA+PB的值最小.

提供多層次的數學背景，創設動點在曲線上的問題情境，多層次尋求建模點和方向. 此問題充滿了挑戰和創造性，足以讓學生重新思考已建立的數學模型.

生21：發現本題的動點在曲線（圓）上而非某一直線上.

生22：圓周也可以看作“將軍飲馬”問題中的“河岸”，此時A，B兩點在“河岸”的同側，需要把這兩點的位置轉移到“河岸”的異側. 由于B點的位置比A點更具體，因此把定點B的位置轉移到圓內某一定點即可.

生23：OB所在直線過圓心O，定點B在圓內的“對稱點”必在OB上.

生24：發現△POB中的OP與OB之比恒為定值，可借助三角形相似轉化PB，從而在OB上找到B的“對稱點”.

生（眾）：B關于圓的“對稱點”在哪里？

學生不經意的一句話，道出了解決本題的核心與關鍵.

生25：利用子母型相似模型，在△POB內部，以∠POB為公共角，構造一個△COP，使之與△POB相似. 如圖9所示，在OB上取OC=4，則=. 連接PC，則△BOP∽△POC，得==，所以PC=PB. 因為AP+PC≥AC，即線段AC的長為PA+PB的最小值.

生26：此時動點P的位置，即為AC與☉O的交點Q的位置.

生27：本題的關鍵是什么？

生28：確定C點的位置.

生29：除了要求C點必須在線段OB上（圓內）的位置外，還有什么數量要求？

生30：必須滿足=，即OP 2=OC·OB. 若☉O的半徑為r，則OC=.

……

通過與學生所熟悉的數學結構、模型相結合，化曲為“直”，為學生開辟了一道建模素養發展的途徑. 在重新構建模型的過程中培養學生獨立思考、團結協作、實踐創新，形成一套關于解決問題的程序.

問題6? （動點在直線上的模型）如圖10所示，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，☉O經過點C，且圓的直徑AB在線段AE上，設D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當CD+OD的最小值為6時，求☉O的直徑AB的長.

尋求建立恰當模型的方法和過程就是建模思想落地生根的過程.

生31：由于動點D在線段AC上運動，聯想到動點在直線上的模型，作CF∥AB，則∠ACF=30°. 如圖10所示，作DG⊥FC，把CD轉化為DG；作OH⊥FC，則CD+OD的最小值即為OH的長. 根據題意有OH=6，又∠OCH=60°，則OC=2，則AB=4.

一針見血地指出問題要點，這就是實踐價值，學生紛紛指出，動點在曲線上的最值問題，得先構造三角形相似，然后轉化為相關線段，再通過線段法去解決.

問題7? （動點在曲線上的模型）如圖11所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，以點B為圓心作☉B與AC相切，P為☉B上任意一點，求PA+PC的最小值.

再次為學生創造建模素養發展的機會，使學生充分了解數學建模的意圖，以提升其應用能力和創新意識.

生32：動點P在☉O上運動，聯想到前面的模型，在BC上取點D，構造三角形相似，轉化PC. 如圖12所示，易求☉B的半徑為，在BC上取BD=1，連接AD，BP，PC，則△BPD∽△BCP，得PC=PD. 所以PA+PC的最小值為AD的長，即.

在線型與非線型問題的背景下建構線段法求最值的活動，采用原型啟發和醞釀的方式，給學生提供建立數學模型的機會，在建模思想的滲透、啟迪、運用下完成知識、思維、能力三者統一，實現充滿智慧能力和高格調的課堂轉型.

建構數學模型，實現課堂變革

建模是一種綜合性極強的數學素養，能改善學生的學習方式，激發學生的學習動機和興趣，建立良好正確的數學觀，養成嚴謹的數學思維方式與方法，進而鍛煉學生的思維，開發學生的智力，發展學生的個性，培養學生的特長. 因此，數學建模具有重要的育人價值，是實現課堂變革的一個突破口. 在教學中，教師應聚力課堂變革的關鍵問題與方向，潛心于課堂創造與學習變革，以建模的視角去思考課堂的本質，點燃學生個體創造潛能的“火種”. 具體而言：

首先，培養學生的數學建模意識. 建模是不斷迭代學習的過程，要精擬建模問題，營造良好的建模氛圍，鼓勵學生大膽建模，逐步滲透建模策略，使學生在“發現→歸納→總結→解決”問題中，逐步將情境結構化，將問題數學化，并通過多次循環執行，多角度、多渠道、多觀點、多層次尋求解決策略，以完善模型的理解與應用，進而找出模型結構，形成成套鏈條.

其次，重視數學建模思想的滲透. 教師要加強建模課程的鉆研，把滲透數學建模思想作為首要任務，從數學的角度聚焦建模方法，講授解模思想，總結模型特征，提出有指導性的策略，帶動學生能用新的模型來模擬原來的模型［3］，進而提升學生的數學建模能力.

再次，著重模型的實踐與應用. 數學建模是從現實世界到數學世界［4］，關系著能否用數學眼光觀察世界，能否解決現實生活中的問題，能否用數學思維思考世界，能否喚起學生的數學應用意識. 事實上，脫離情境，知識就只剩下符號.? 建模是應用數學知識的重要途徑，學生通過建模能了解知識產生的根源，拓寬知識面，形成合理的數學結構，實現知識遷移，提高個體綜合實踐能力.

教學改革難就難在課堂，要實現課堂變革，應把數學建模能力的培養確定為課堂變革的方向與目標. 在教學中，教師要引導學生著力把一個模型“學得透，學得精，用得活”，讓學生經歷完整的數學建模，悟出數學模型的約束條件，學會對數學模型追本溯源、廣泛遷移，學會用數學模型解決實際問題，進而奠定建模素養發展的基礎. 唯有如此，才能真正為學生發展建模素養提供保障，激發學生的數學學習興趣，幫助學生釋放學習潛能，發揮建模活動的價值，讓課堂充滿生機與活力.

參考文獻：

［1］雍慶. 基于數學核心素養的中學“數學建模活動”教學設計［D］. 西華師范大學，2018.

［2］王金水，張潔，林晴嵐. 指向核心素養的初中數學實驗活動——以相似三角形的運用為例［J］. 中國數學教育（初中版），2021（19）：32-36+51.

［3］劉彩紅. 數學建模思想融入中學數學課堂教學的實踐研究［D］. 合肥師范學院，2017.

［4］王金水. 把握課堂追問時機? 提升初中生數學思維品質［J］. 福建基礎教育研究，2021（02）：57-60.