初等行變換求齊次線性方程組通解的教學探討

尹江華 馬國棟

摘?要：求齊次線性方程組的通解在“線性代數”與“高等代數”的教學中占據著重要地位。教材的解法是利用初等行變換，將系數矩陣化為行階梯形矩陣，從而確定基本未知量和自由未知量，然后根據行階梯形矩陣寫出對應的齊次線性方程組，并用自由未知量表示基本未知量，從而得到齊次線性方程組的通解。本文通過利用初等行變換將系數矩陣化為行最簡形矩陣，直接產生基礎解系，進而獲得齊次線性方程組的通解。

關鍵詞：初等行變換；齊次線性方程組；通解；行最簡形

Teaching?Exploration?on?Solving?Homogeneous?Linear

Equations?by?Elementary?Row?Transformation

Yin?Jianghua?Ma?Guodong*

College?of?Mathematics?and?Physics，Guangxi?Minzu?University?GuangxiNanning?530006

Abstract：Finding?the?general?solution?of?homogeneous?linear?equations?plays?an?important?role?in?the?teaching?of?Linear?Algebra?and?Advanced?Algebra.The?solution?of?the?textbook?is?to?convert?the?coefficient?matrix?into?the?row?echelon?matrix?by?using?elementary?row?transformation.It?follows?that?one?can?determine?the?basic?and?free?unknowns，and?then?write?the?corresponding?homogeneous?linear?equations?according?to?the?row?echelon?matrix.Finally，using?the?free?unknowns?to?express?the?basic?ones?yields?the?general?solution?of?the?homogeneous?linear?equations.In?this?paper，the?coefficient?matrix?is?transformed?into?its?row?simplest?form?by?the?elementary?row?transformation，and?thus?the?fundamental?solution?system?is?generated?directly.Therefore，the?general?solution?of?homogeneous?linear?equations?is?obtained?quickly.

Keywords：elementary?row?transformation；homogeneous?linear?equations；general?solution；row?simplest?form?of?matrix

1?概述

無論是在“線性代數”，還是在“高等代數”的教學和學習中，初等變換都是非常重要的工具和方法，初等變換包括初等行變換和初等列變換。為了學生在學習過程中不出現混淆，初等行變換是在教學中使用最多的方法。初等行變換有很多重要應用，如求兩個多項式的最大公因式［1］、求矩陣的秩與逆矩陣、求向量組的極大無關組與秩、求一個n維向量由一組向量線性表出的表達式、判定向量組的線性相關性、判定線性方程組和矩陣方程是否有解等。

另一方面，線性方程組的求解是學習“線性代數”和“高等代數”的重點和難點，其包括齊次線性方程組的求解和非齊次線性方程組的求解，齊次線性方程組的求解是求解非齊次線性方程組的基礎。對于一般的齊次線性方程組，常采用初等行變換進行求解，其基本求解過程是：將齊次線性方程組的系數矩陣通過初等行變換化為行階梯形矩陣，由此確定基本未知量和自由未知量，然后根據所得行階梯形矩陣寫出對應的齊次線性方程組，并用自由未知量表示基本未知量，進而得到齊次線性方程組的基礎解系，從而根據基礎解系寫出齊次線性方程組的通解。顯然，該求解過程需要根據行階梯形矩陣再次寫出相應的齊次線性方程組。本文嘗試利用初等行變換實現齊次線性方程組的快速求解。這里的“快速”意味著不需要根據行階梯形矩陣寫出相應的齊次線性方程組，而通過將行階梯形矩陣進一步化為行最簡形矩陣，從而直接產生基礎解系，進而獲得齊次線性方程組的通解。

2?預備知識

定義1［23］：形如a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1，

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2，

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm的方程組稱為線性方程組，其中x1，…，xn表示n個未知量，m是方程的個數，aij（i=1，…，m，j=1，…，n）稱為方程組的系數，bi（i=1，…，m）稱為常數項。常數項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組。

設齊次線性方程組為a11x1+a12x2+…+a1nxn=0，

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0，

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=0.

令A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn，x=x1

x2

xn，則上述齊次線性方程組等價于Ax=0。下面給出行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的定義。

定義2［23］：若矩陣滿足：（1）可畫出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個臺階只有一行非零行；（3）階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素（首非零元），則稱這樣的矩陣為行階梯形矩陣。

注意：在行階梯形矩陣中，全零行應位于所有非零行的下方。

定義3［23］：若行階梯形矩陣滿足：（1）非零行的首非零元為1；（2）首非零元所在的列的其他元素都為零，則稱其為行最簡形矩陣。

其中A和B為行階梯形矩陣，C為行最簡形矩陣，而D不是行階梯形矩陣。

下面有關基本未知量和自由未知量的定義取自參考文獻［2］和文獻［3］。

定義4：設齊次線性方程組Ax=0的系數矩陣A經一系列初等行變換化為行階梯形矩陣B，則矩陣B中各非零行的首非零元所在的列對應的未知量稱為基本未知量，其余未知量稱為自由未知量。

例如，齊次線性方程組x1－x2+x3+2x4=0，

2x1－2x2+3x3－4x4=0的系數矩陣A=1－112

2－23－4經一次初等行變換化為B=1－112

001－8，則x1，x3為基本未知量，而x2，x4為自由未知量。

與非齊次線性方程組不同，齊次線性方程組一定有零解，本文僅考慮齊次線性方程組有非零解的情形。

命題1［23］：齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是r（A）

3?利用初等行變換快速獲得齊次線性方程組的通解

根據命題1，在齊次線性方程組有非零解的情況下，求其通解的關鍵在于基礎解系的計算。下面通過具體例子闡述如何利用初等行變換快速獲得齊次線性方程組的通解。

例1?試求下列齊次線性方程組的通解：

x1－x2+x3+2x4=0，

2x1－2x2+3x3－4x4=0.

為了找到基礎解系中解向量與行最簡形矩陣的關系，首先按照教材中的做法求解上述方程組，然后總結規律，進而獲得求解齊次線性方程組通解的快速方法。

解：對系數矩陣A進行初等行變換：

A=1－112

2－23－4r2－2r11－112

001－8.

故基本未知量為x1和x3，自由未知量為x2和x4寫出行階梯形矩陣對應的線性方程組：

x1－x2+x3+2x4=0，

x3－8x4=0.（1）

于是，

x1=x2－10x4，

x3=8x4.（2）

取x2

x4=1

0，0

1，則基礎解系為：

ξ1=1

1

0

0，ξ2=－10

0

8

1.（3）

從而通解為x=c1ξ1+c2ξ2，其中c1和c2為任意常數。

總結：方程組（2）等價于：

x1－x2+10x4=0，

x3－8x4=0.（4）

將方程組（1）化為（4），相當于將上述行階梯形矩陣通過初等行變換進一步化為行最簡形矩陣：

Ar2－2r11－112

001－8r1－r21－1010

001－8.

ξ1可這樣得到：取x2

x4=1

0，即ξ1=1

0，對比（3）式和上述行最簡形矩陣知，ξ1缺失的兩個分量（即基本未知量所在的位置）恰好是行最簡形矩陣中與x2對應列的相反數，并按從上至下的順序依次填補ξ1缺失的分量。于是ξ1=1

1

0

0，類似，ξ2可這樣得到：取x2

x4=0

1，即ξ2=0

1，ξ2缺失的兩個分量恰好是行最簡形矩陣中與x4對應列的相反數，并按從上至下的順序依次填補ξ2缺失的分量。

下面給出利用初等行變換求齊次線性方程組Ax=0通解的基本步驟。

第一步：將系數矩陣A通過初等行變換化為行最簡形矩陣；

第二步：確定基本未知量和自由未知量，而自由未知量的個數=基礎解系中解向量的個數；

第三步：基礎解系中的解向量是通過在自由未知量的位置依次選取其中一個為1，而其余位置取0；基本未知量的位置恰好是取值為1的自由未知量在行最簡形矩陣中所對應列的相反數，并按從上往下的順序依次填入基本未知量所在的位置。從而得到基礎解系并給出通解［自由未知量個數=n-r（A）=通解中任意常數的個數］。

4?應用實例

下面通過三個具體例子，驗證上述方法的有效性。

例2?試求下列齊次線性方程組的通解：

3x1+2x2－5x3+4x4=0，

3x1－x2+3x3－3x4=0，

3x1+5x2－13x3+11x4=0.

解?對系數矩陣A進行初等行變換：

A=32－54

3－13－3

35－1311r1019－29

01－8373

0000.

故基本未知量為x1和x2，自由未知量為x3和x4，于是，基礎解系為ξ1=－19

83

1

0，ξ2=29

－73

0

1.

故通解為x=c1ξ1+c2ξ2，其中c1和c2為任意常數。

例3?試求下列齊次線性方程的通解：

2x1－3x2+x3+2x6=0.

解：對系數矩陣A進行初等行變換：

A=（2－31002）12r1（1－3212001）.

因此，基本未知量為x1，而自由未知量為x2，x3，x4，x5和x6，于是，基礎解系為：

ξ1=32

1

0

0

0

0，ξ2=－12

0

1

0

0

0，ξ3=0

0

0

1

0

0，ξ4=0

0

0

0

1

0，ξ5=－1

0

0

0

0

1.

故通解為x=c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3+c4ξ4+c5ξ5，其中c1，c2，c3，c4和c5為任意常數。

例4?試求下列齊次線性方程組的通解：

x1－x2+2x3+x5－2x6=0，

2x1－2x2+4x3+x4－x6=0.

解：對系數矩陣A進行初等行變換：

A=1－1201－2

2－2410－1r2－2r11－1201－2

0?001－23.

因此，基本未知量為x1和x4，自由未知量為x2，x3，x5和x6，由此可得基礎解系：

ξ1=1

1

0

0

0

0，ξ2=－2

0

1

0

0

0，ξ3=－1

0

0

2

1

0，ξ4=2

0

0

－3

0

1.

故通解為x=c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3+c4ξ4，其中c1，c2，c3和c4為任意常數。

利用上述規律求解齊次線性方程組減少了煩瑣的還原方程組的步驟，起到了事半功倍的作用。同時，對于初學者而言，這能極大地增加學習“線性代數”或“高等代數”的成就感和學習興趣。

結語

講解“線性代數”或“高等代數”的過程中，在傳授基本知識與理論的基礎上，培養學生分析、總結并發現規律的能力是重要的，這有助于培養學生學習數學的興趣，提高學生分析問題、解決問題的能力。利用本文的思想方法，探討如何利用初等行變換快速獲得非齊次線性方程組的通解是有意義的。

參考文獻：

［1］王文省，姚忠平，鐘紅心.初等變換的思想方法在高等代數中的應用［J］.聊城師院學報（自然科學版），2000（3）：7678.

［2］北京大學數學系前代數小組編.王萼芳，石生明修訂.高等代數（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［3］同濟大學數學系編.工程數學線性代數（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2014.

基金項目：廣西高等教育本科教學改革工程項目（2022JGA175）；廣西民族大學校級引進人才科研啟動項目（2022KJQD03）；廣西高校中青年教師科研基礎能力提升項目（2023KY0168）

作者簡介：尹江華（1989—?），男，湖南邵陽人，博士，講師，碩士生導師，研究方向：最優化方法及其應用。

*通訊作者：馬國棟（1983—?），男，湖南邵陽人，博士，副教授，碩士生導師，研究方向：最優化方法及其應用。