小學數學“數與代數”領域模型意識素養培育的策略研究

衛健群

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：義務教育階段數學課程內容由數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個學習領域組成。“數與代數”是義務教育階段學生數學學習的重要領域，在小學階段包括“數與運算”和“數量關系”兩個主題，學段之間的內容相互關聯，由淺入深，層層遞進，螺旋上升，構成相對系統的知識結構。基于核心素養發展要求，對“問題解決”板塊進行整體劃分與設計，增強教學內容與素養培育的聯系，改變傳統單類題型的教學形態，進而實現知識結構系統化。本文試結合小學數學教材，以課程標準為引領，優化內容組織形式，幫助學生建立數學模型來解決實際問題，從而有效發展學生“數與代數”領域的模型意識和應用意識，落實核心素養。

一、依據課程標準，分析素養指向

1.課標陳述

與本板塊相關的課標陳述如下：

（1）發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力，形成正確的情感、態度和價值觀。

（2）引導學生運用數和字母表達數量關系，通過運算或推理解決問題，形成符號意識、推理意識和初步的應用意識。

（3）引導學生嘗試在真實的情境中發現和提出問題，探索運用基本的數量關系以及幾何直觀、邏輯推理和其他學科的知識、方法分析與解決問題，形成模型意識和初步的應用意識、創新意識。

2.課標分析

“問題解決”板塊可以通過縱向研究小學階段數學教材內容，整理匯總出“數與代數”領域課標要求涵蓋的問題類型即關系模型和典型模型，解析典型命題，確定四類常考題型：單位“1”問題、找不變量問題、比的應用問題、百分數問題。按照“閱讀理解—分析與解答—總結與反思”的范式解決問題，即第一步：閱讀理解題目信息，理解已知條件中的關鍵信息，明確未知條件及問題類型；第二步：分析與解答，嘗試找尋解決問題的方法與途徑，借助數形結合、假設、類比等數學方法厘清解題思路，選擇合適的數學模型解決問題；第三步：總結與反思問題解決的過程，歸納形成解題技巧，積累、建立數學模型。由此可見，課標要求學生在真實情境中，在“三位一體”的數學實踐活動過程中，實現學生數學能力、數學思維、數學意識的發展，共同指向數學學科核心素養。而“問題解決”板塊教研意圖通過明確“數與代數”領域學生的模型意識和應用意識的培育策略，來落實學生的核心素養。

二、深度分析教材，確立素養目標

1.教材分析

小學階段“問題解決”板塊內容縱向梳理（見表1）：

人教版小學數學教材設置了專門的“問題解決”教學板塊，以“用數學”“解決問題”的形式縱向分布于一至六年級教材各單元的四個領域之中。每一個問題解決的例題都呈現了解決問題的一般步驟，即理解問題情境—發現問題并分析問題—尋找解決方案并嘗試解決—對解決結果進行檢驗和回顧反思。板塊探究的視野下，從課程全局整體解讀，“向上”連通核心素養；從教材內容全面解讀，“向下”整合知識與技能；教師從“教什么”深化為“怎么教”，學生從“學什么”深化為“怎么學”。學生在“解決問題”板塊的探究過程中逐步建立模型意識、推理意識、應用意識，以此促進學科知識技能向核心素養轉化。

2.單元教材分析

數量關系是新課標對“數與代數”領域內容結構化整合后的新的學習主題。以“問題解決”板塊為例，依托課程標準，從教材整體把握六年級上冊問題解決教學內容，引導學生將零散性的知識內容進行總結和歸納，從而幫助學生構建“問題解決”板塊的解題策略。建構數學模型的過程是培養學生初步的模型意識、應用意識的過程，同時也是教師把握、整合、運用教材能力的雙向提升的過程。

在小學階段“數與代數”領域數量關系教學中，要加強比、比例、按比分配、成正反比例的量內容間的銜接聯系。“問題解決”板塊教研從一致性的角度出發，引導學生感受知識間的遞進與聯系，是培養學生初步的推理意識、應用意識、遷移能力的過程，同時也是提升教師跨越教材維度、靈活運用教材的過程。“問題解決”板塊在六年級上冊教材中涵蓋了分數乘法、分數除法、比、百分數四個單元。單元所屬“數與代數”“統計與概率”領域。四大單元內容是學生對“數的概念”的深化認識，通過原有知識經驗遷移提升，建立單元內容間的有效聯系。其中，“分數乘法、除法”是在學習了整數、小數有關計算的基礎上進行教學的，重在培養學生分數四則運算能力以及解決實際問題的能力；“比的應用”是在學習了除法、分數等知識的基礎上進行教學的，為后期學習圓周率、百分數、比例等知識奠定基礎；“百分數”這一單元明確要求理解百分數的意義、掌握百分數的計算方法，學會解決簡單的有關百分數的實際問題。通過全面剖析分數四個單元的教學內容，讓學生體會、理解和掌握歸納法、類比法，體會運用數學思想方法解決問題的有效性，從而使學生獲得發現問題、提出問題、分析問題和運用所學知識解決實際問題的能力，培養學生的推理意識、模型意識、應用意識。

3.確立素養目標

綜上，結合課標要求和教材意圖，本板塊目標為：

（1）經歷解決稍復雜分數乘、除法的實際問題過程，能進一步積累畫圖分析數量關系的經驗，培養分析、比較、抽象、概括、歸納、類推的能力，以此發展推理意識、應用意識；

（2）能正確運用按比分配的方法解決問題，體會問題解決策略的多樣性，以此發展模型意識、應用意識；

（3）能正確解決有關百分數的實際問題，在真實情境中，感受數學與生活的密切聯系，提高用數學知識解決實際問題的能力，以此發展學生的推理意識、模型意識、應用意識。

三、明確培育策略，落實核心素養

經過本板塊教研，梳理分析大量的教材例題以及經典命題，借助“閱讀理解—分析與解答—總結與反思”的問題解決應用范式，引導學生結合實際生活理解數量關系，獲取解決典型問題的一般方法。即數學教學最終目標是要在學生的認知結構中，構建問題解決的圖示、模型，最終實現核心素養落地。結合具體教學內容案例，通過梳理六年級上冊“問題解決”板塊，歸納出以下四類常考題型。

題型一：單位“1”問題。

例：地球表面積約5.1億平方公里，其中陸地面積約占29%，海洋面積大約是多少億平方公里？

【問題解決策略】

第一步，閱讀題目信息，理解題意：閱讀題目，明確本題所屬類型，選取關鍵信息，明確問題；

第二步，借助典型模型，列式計算：根據類型，選取典型模型，借助數量關系，列式并解答；

第三步，代入數據結果，反思驗證：將結果代入數量關系式中，進行驗證。

題型二：找不變量問題。

例：一個燒杯裝有50克的鹽水，鹽與水的質量比為1∶4。加入多少克鹽，才能使鹽與水的質量比為3∶8？

【問題解決策略】

第一步，閱讀題目信息，明確不變量：利用找不變量的方法解決問題；

第二步，借助典型模型，利用轉化策略：把前后兩個分率均轉化為以不變量為單位“1”，或轉化為原來另一個量是不變量的幾分之幾；

第三步，量率對應，解決問題：變化的量÷（大分率-小分率），求出不變量是多少。

題型三：比的應用問題（含有兩個未知數問題）。

例：為預防甲型H1N1流感，防疫人員把消毒液和水按1∶7的比例，制作消毒水進行殺菌消毒。現需要配制240千克消毒水，則需要準備消毒液和水各多少千克？

【問題解決策略】

第一步，閱讀題目，找準關鍵信息：明確選用分數法、份數法解題方法；

第二步，借助典型模型，抓住解題策略：運用替換方法，將兩個量的關系替換為一個量與總量的關系，從而簡化解決問題；

第三步，數量關系，解決問題：借助等量關系式，由總量計算各部分量。

題型四：百分數問題。

例：書店里面有文學課外讀物200本，手繪畫冊160本，那么① 類：書店中手繪畫冊是文學課外讀物的百分之多少？② 類：文學課外讀物比手繪畫冊多百分之多少？手繪畫冊比文學課外讀物少百分之多少？③ 類：3月書店圖書總量比2月上漲了10%，4月又比3月下降了15%，4月比2月上漲了還是下跌了，漲跌的幅度是多少？

【問題解決策略】

第一步，閱讀題目信息，理解題意：根據題意，分析所屬類型；

第二步，借助典型模型，列式計算：根據模型，分析數量關系，列出關系式計算解答；

第三步，代入數據結果，反思驗證：將數據結果代入數量關系式中，進行計算驗證。

通過對“問題解決”板塊的研究，引導學生聯系現實生活，發現問題，感知實際問題與數學知識之間的密切聯系，鼓勵學生在生活中學以致用，主動嘗試知識建構，建立數學模型，形成解決問題的數學模型思維，并轉化為具體的問題解決策略，對于各類數學問題的解決能夠“看得清、想得深、講得明”，實現數學學習過程“最優化”，從而落實數學核心素養，是我們梳理“問題解決”板塊的價值意義所在。

（作者單位：山東省濟南市歷城區禮軒小學）

責任編輯：莊 源

注：本文系濟南市教育科學規劃2022年度專項課題 “小學初中有效銜接育人機制的建構與實踐研究”（課題編號：2022XJ04）的階段性研究成果。